Desigualdade de Young

Predefinição:Sem fontes Em matemática, a desigualdade de Young, devida ao matemático William Henry Young, afirma que se p e q são números reais positivos tais que 1/p + 1/q = 1, então, para todo par de números reais a e b não negativos vale a desigualdade: $$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$

A igualdade vale se e somente se a^p = b^q. Algumas vezes, números reais positivos p e q com a propriedade mencionada são denominados conjugados de Lebesgue.

Young com $\epsilon$

A desigualdade de Young também tem pode tomar a seguinte forma: $$ab\le \epsilon a^p+C(\epsilon )b^q$$

O que pode ser provado pelo seguinte: $$ab=\left(\xi a\right)\left(\frac{b}{\xi }\right)\le \frac{1}{p}{\left(\xi a\right)}^p+\frac{1}{q}{\left(\frac{b}{\xi }\right)}^q=\frac{{\xi }^p}{p}{a}^p+\frac{1}{q{\xi }^q}{b}^q$$ Escreva $\epsilon =\frac{{\xi }^p}{p},$ ou seja, $\xi ={\left(\epsilon p\right)}^{1/p}$

Conclua que: $$ab\le \epsilon a^p+\frac{1}{q(\epsilon p{)}^{q/p}}{b}^q=\epsilon a^p+C(\epsilon )b^q$$

Caso particular

Para o caso p = q = 2, a Desigualdade de Young, tem uma prova elementar, obtida ao se considerar para a e b reais , $$0\le (a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab.$$

Ao somar 2ab a expressão anterior e dividir por 2 obtém-se o resultado procurado. A desigual de Young com ε é obtida da anterior considerando $$a^{\prime }=a/\sqrt{\epsilon },b^{\prime }=b/\sqrt{\epsilon }.$$

Aplicação

A desigualdade de Young é utilizada na demonstração da desigualdade de Hölder, sendo também amplamente utilizada no estabelecimento de estimativas com normas em espaços de Sobolev com aplicações na teoria das EDPs não lineares.

Demonstração

A prova no caso ab = 0 é trivial, então consideramos a, b > 0. Caso tenhamos a^p = b^q, usando que 1/p + 1/q = 1,

$$ab=a(b^q{)}^{1/q}=a{a}^{p/q}=a^{p/p}{a}^{p/q}=a^{p(1/p+1/q)}=a^p=a^p\cdot 1=a^p\cdot (\frac{1}{p}+\frac{1}{q})=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$$

Agora, para o caso a^p ≠ b^p, note que a função f(x) = exp(x) é estritamente convexa, pois f"(x) > 0 para todo x real. Então, para todo t no intervalo (0,1) e todos números reais x,y com x ≠ y, $$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y).$$

Apliquemos isso para t = 1/p, 1 - t = 1/q, x = ln a^p e y = ln b^q

$$ab=\exp (\ln ab)=\exp (\frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^q}{q})<\frac{\exp (\ln a^p)}{p}+\frac{\exp (\ln b^q)}{q}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$$

que demonstra o resultado.

Ver também

• Desigualdade
• Desigualdade de Hölder