Fórmula de Stirling

Comparação da aproximação de Stirling com a função fatorial

Em matemática, a fórmula de Stirling ou aproximação de Stirling é uma fórmula que estabelece uma aproximação assintótica ao fatorial de um número. Recebe o nome do matemático James Stirling.

Na sua forma mais conhecida, a fórmula escreve-se:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$,

onde $e$ é o número de Euler, tal que $e=2,71828...$

O que é uma notação para o limite:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$.

A fórmula de Stirling é apresentada também de outra forma, comummente utilizada em aplicações na física, por exemplo. Quando $n\to \mathrm{\infty }$, o logaritmo natural de um fatorial é dado por:

$\ln n!=n\cdot \ln n-n$

História

Esta fórmula foi parcialmente descoberta por Abraham de Moivre que estabeleceu o resultado:

$n!\sim C{n}^{n+1/2}{\mathrm{e}}^{-n}$, onde C é uma constante real não nula.

Stirling completou a demonstração calculando o valor de $C=\sqrt{2\pi }$

Ver também

• Método da descida mais íngreme - contém uma demonstração da fórmula

Bibliografia

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