Subsequência

Predefinição:Mais-notas Em matemática, uma subseqüência, subsequência ou subsucessão de uma seqüência é uma restrição da seqüência a um subconjunto infinito ${\mathbb{N}}^{\prime }=\{n_1<n_2<...<n_k<...\}$ de $\mathbb{N}$. Em particular, uma subsequência é por definição uma sequência.

Notação

Seja $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ uma seqüência, então uma subseqüência é uma nova seqüência $\{x_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, onde $n_1\ge 1$ e $n_{k+1}>n_k$

Usando a notação da Teoria dos Conjuntos, uma sequência (de elementos em um conjunto X) é uma função $x:\mathbb{N}\to X$, e uma subsequência é a função composta $son$, em que n é uma sequência estritamente crescente de números naturais, $n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

Exemplos

• Seja $x_n=\frac{1}{n^2}$. Então a seqüência dos inversos dos quadrados dos números ímpares é uma subsequência, escolhendo-se $n_k=2k+1$.

Topologia

Em Topologia, define-se o conceito de um espaço sequencialmente compacto:

• Um espaço topológico X é sequencialmente compacto quando toda seqüência $x_i\in X$ tem uma subseqüência convergente.

Um subconjunto de um espaço métrico é compacto se, e somente se, ele é sequencialmente compacto.

Este resultado é muito importante para análise da reta, porque, muitas vezes, é mais simples mostrar que um espaço é sequencialmente compacto (exibindo-se uma subseqüência convergente) do que trabalhar com coberturas de abertos.