Teorema de Arzelà-Ascoli

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o teorema de Ascolí-Arzela é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Enunciado da versão real

Seja $𝔉$ uma sequência de funções $f:[a,b]\to 𝐑$ com as seguintes propriedades:

• Equicontinuidade, ou seja, para cada $\epsilon >0$ e cada $x$ no domínio, existe um $\delta >0$ tal que $|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }f\in 𝔉$
• Equilimitação, ou seja, existe uma constante $C$ tal que $|f(x)|<C,\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\forall }f\in 𝔉$

Então existe uma subseqüência $f_n(x)$ e uma função contínua $f(x)$ tal que $f_n(x)$ converge uniformemente para $f(x)$.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequência de funções contínuas $(f_n(x))$ definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequência que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.