Teorema de Steinhaus

Em matemática, o teorema de Steinhaus é um importante resultada da teoria da medida.

Enunciado

Seja $S$ um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença $S-S:=\{x-y:x,y\in S\}$ contém uma vizinhança da origem.

Lema

Seja $S$ um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:

$\mu (S\cap [a,b])\le \rho (b-a)$

onde $0\le \rho <1$ Então $S$ tem conjunto de medida zero.

Suponha, por absurdo, que $S$ tem medida positiva. Fixe $1<k<\frac{1}{\rho }$

Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos $\{(a_n,b_n){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tais que:

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n,b_n)\supseteq S⟹S=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}S\cap (a_n,b_n)$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n-a_n)\le k\mu (S)$

Portanto: $\mu (S)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (S\cap (a_n,b_n))\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (b_n-a_n)\le \rho k\mu (S)<\mu (S)$ , uma contradição.

Demonstração

Escolha $a$ e $b$ tal que $\mu ([a,b]\cap S)>\frac{3}{4}(b-a)$, defina $E:=[a,b]\cap S$ e:

$F:=E-E$

Vamos mostrar que $F$ contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo $\delta >0$, existe $x$ tal que $|x|<\delta$ e $x\notin F$

Isso significa que $E\cap (E+x)=\mathrm{\varnothing }$

Podemos estimar: $\mu (E)=\mu (E\cap (E+x))+\mu (E\cap (E+x{)}^c)\le \mu ([a,b]\mathrm{\setminus }(E+x))\le (b-a)-\mu (E)+\delta$

Equivalente a: $\mu (E)\le \frac{(b-a)+\delta }{2}$, uma contradição se escolhermos $\delta$ suficientemente pequeno.