Sequência generalizada

Em matemática, uma sequência generalizada ou sequência de Moore-Smith também conhecida pelo nome de origem inglesa net é um conceito que permite generaliza a ideia de limite de sequências.

Este conceito foi apresentado inicialmente por E. H. Moore e H. L. Smith em 1922. Um conceito parecido, de filtro, foi desenvolvido em 1937 por Henri Cartan.

Definições

• Um conjunto $A$ é dito conjunto direcionado se:
  • É não vazio
  • Admite uma ordem parcial $\ge$
  • Para todos $\alpha$ e $\beta$ em $A$, existe $\gamma \in A$ tal que $\gamma \ge \alpha$ e $\gamma \ge \beta$.

• Uma aplicação $x_{\alpha }:A\to X$ é dita uma sequência generalizada se $A$ é um conjunto direcionado e $X$ é um espaço topológico.

• $x_{\alpha }$ é dita estar eventualmente em $V\subseteq X$ se existe um $\alpha$ tal que:

$\gamma \ge \alpha ⟹x_{\gamma }\in V$

• $x_{\alpha }$ é dita estar frequentemente em $V\subseteq X$ se para todo $\alpha$ existe um $\gamma \ge \alpha$ tal que:

$x_{\gamma }\in V$

• $x_{\alpha }$ converge para $x\in X$ se está eventualmente em cada vizinhança de $x$.

• $x_{\alpha }$ se acumula em $x\in X$ se está frequentemente em cada vizinhança de $x$.

Exemplos

• Uma sequência é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto direcionado é os naturais
• Se $f:ℝ\to ℝ$ é uma função, então $f(x)$ é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto dos números reais é o conjunto direcionado.