Função localmente integrável

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma função é dita localmente integrável em um subconjunto $E$ de seu domínio se for integrável em cada subconjunto pré-compacto de $E$. O espaço das funções localmente integráveis em $E$ é denotado por $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(E)$

Definição

Seja $f:D\to ℝ$ uma função mensurável. Dizemos que $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(E)$ se $E$ é um subconjunto mensurável de $D$ e vale que:

• $\mathrm{\forall }V\subseteq \bar{V}\subseteq E$ com $\bar{V}$ compacto então $f\in L^1(V)$

Esta definição pode ser generalizada para os espaços $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(V)$.

Propriedades

• Se $1\le p<q\le \mathrm{\infty }$ então $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^q(E)\subseteq L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(E)\subseteq L^p(E)$

Exemplo: Sendo $f:ℝ\to ℝ$ tal que $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ para $x\ne 0$ e $f(0)=0$, temos $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(ℝ)$ e $f\in ̸L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^2(ℝ)$.