Soma direta

O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de espaços vetoriais

Sejam $V$ e $W$ dois espaços vetoriais sobre um corpo $K$ tais que $V\cap W=\left\{0\right\}$. O espaço vetorial $V\oplus W,$ resultante da soma direta entre $V$ e $W,$ é definido da seguinte forma:

$$V\oplus W=\{\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}|\overrightarrow{v}\in V,\overrightarrow{w}\in W\}$$

Soma direta de grupos abelianos

Dada uma família $ℱ=\{G_i{\}}_{i\in I}$ de grupos abelianos, definimos a soma direta de $ℱ,$ denotada por ${\oplus }_{i\in I}{G}_i,$ como sendo o grupo cujos elementos são $I$-uplas $(x_i{)}_{i\in I}$ cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em $I,$ e cuja soma entre $(x_i{)}_{i\in I},(y_i{)}_{i\in I}\in {\oplus }_{i\in I}{S}_i$ é $(x_i+y_i{)}_{i\in I}.$ Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.

Soma direta de dois grupos

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x²y¹⁰x^-1yx^-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:

$$g_1^{k_1}{h}_2^{k_2}{g}_3^{k_3}\dots h_n^{k_n}$$

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta.