Anel noetheriano

Pintura da matemática Emmy Nother

Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

• Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
• Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
• Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

• Todo ideal $I$ é finitamente gerado, isto é, existem $a_1,...,a_n$ em $R$ tais que todo elemento de $I$ pode ser escrito na forma $r_1{a}_1+...+r_n{a}_n,$ onde $\{r_1,...,r_n\}\subset R.$
• Todo subconjunto não-vazio de ideais de $R$ possui ideal maximal com respeito à inclusão.

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo $R,$ se todo ideal primo for finitamente gerado, então $R$ é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécie de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos

• O anel dos inteiros $\mathbb{Z}.$
• Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
• $k[x],$ onde $k$ é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:

• O anel dos polinômios em infintas variáveis, $X_1,X_2,X_3,\dots$ A sequência de ideais $(X_1),(X_1,X_2),(X_1,X_2,X_3),\dots$ é ascendente, e não é estacionária.
• O anel $F$ das funções contínuas de $ℝ.$ Definindo para cada inteiro positivo $I_n=\{f\in F\mid f(k)=0,\mathrm{\forall }k\in \{0,...,n\}\},$ temos que a cadeia de ideais $\{I_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ não é estacionária.

Propriedades

• Pelo teorema da base de Hilbert, $ℝ[x]$ é noetheriano.
• Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
• Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
• Um anel $R$ é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo $R$-módulo é um módulo noetheriano.

Referências

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