Equação de Langevin

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial; geralmente, é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial, normalmente, pode ser decomposto em duas componentes: um potencial estático (e.g., campo elétrico) e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja, o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

Exemplos de equações de Langevin

Movimento browniano

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin, foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo, o movimento de uma partícula browniana de massa $m$ e posição $𝒙(t)$ é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos. O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força $-\gamma 𝒗(t)$ onde $\gamma$ é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e $𝒗(t)=\dot{𝒙}(t)$ é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) $\mathit{\eta }(t)$ que se assume ser Gaussiana de media nula $⟨\mathit{\eta }(t)⟩=0$ , graças à lei dos grandes números, e função de correlação $⟨{\eta }_i(t){\eta }_j(t^{\prime })⟩=2d\gamma m{k}_{B}T{\delta }_{ij}\delta (|t-t^{\prime }|)$ para todas as direções $i,j$ do espaço de $d$ dimensões onde $k_{\text{B}}$ é a constante de Boltzmann e $T$ é a temperatura do meio envolvente.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

$m𝒂(t)=-\gamma 𝐯(t)+\mathit{\eta }(t),$

onde $𝒂(t)=\ddot{𝒙}(t)$ é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma transformada de Laplace por exemplo):

$m𝒗(t)=m{𝒗}_0{e}^{-\gamma t}+\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{-\gamma \tau }\mathit{\eta }(t-\tau )$,

Daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

• $⟨𝒗(t)⟩={𝒗}_0{e}^{-\gamma t}+\frac{1}{m}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{-\gamma (t-\tau )}⟨\mathit{\eta }(\tau )⟩={𝒗}_0{e}^{-\gamma t}$;

• $⟨{𝒗}^2(t)⟩={𝒗}_0^2{e}^{-2\gamma t}+\frac{1}{m^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{t}{\int }}d{\tau }^{\prime }{e}^{-2\gamma \tau }⟨\mathit{\eta }(t-\tau )\mathit{\eta }(t-{\tau }^{\prime })⟩=({𝒗}_0^2-\frac{d{k}_{\text{B}}T}{m})e^{-2\gamma t}+\frac{d{k}_{\text{B}}T}{m}$;

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio $(t\to \mathrm{\infty })$ a velocidade média da partícula é nula e

$⟨\frac{1}{2}m{𝒗}^2(t)⟩=\frac{d}{2}{k}_{\text{B}}T,$

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia média de partículas num gás perfeito.

Circuito elétrico com ruido térmico

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência elétrica:

$L\frac{dI(t)}{dt}=-RI(t)+v(t).$

Considerações adicionais

Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a equação de Fokker-Planck correspondente, geralmente facilitando a resolução do sistema. Porém, é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma equação de Fokker-Planck correspondente (por exemplo, se o ruído não for gaussiano).

Soluções numéricas alternativas podem ser obtidas mediante simulação de Monte Carlo. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger com uma transformação de variáveis).

Bibliografia

• The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).
• World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10).
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation.