Coeficiente de restituição

O coeficiente de restituição ou CR de um objeto é um valor fracionário que representa a razão das velocidades antes e após o impacto. Um objecto com CR 1 colide elasticamente, enquanto um objeto com CR 0 colide inelasticamente.

Equação

O coeficiente, para a colisão de dois objetos, é definido como:

e = \frac{v'_{b} - v'_{a}}{v_{a} - v_{b}}

onde

v'_{a}

é a velocidade escalar final do primeiro objeto após o impacto

v'_{b}

é a velocidade escalar final do segundo objeto após o impacto

v_{a}

é a velocidade escalar inicial do primeiro objeto antes do impacto

v_{b}

é a velocidade escalar inicial do segundo objeto antes do impacto

Para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão:

e = \frac{v'_{f}}{v_{i}}

, onde

V_{f}

é a velocidade escalar do objeto após o impacto

V_{i}

é a velocidade escalar do objeto antes do impacto

O coeficiente também pode ser encontrado com:

e = \sqrt{\frac{h}{H}}

para um objeto colidindo com outro objeto estacionário, tal como o chão, onde

h

é a altura máxima atingida em um dado ressalto

H

é a altura máxima atingida no ressalto anterior ao considerado para h

É possível descrever uma fórmula para a aplicação do coeficiente de restituição no choque entre dois corpos, independente da elasticidade do mesmo. Pode-se escrever

v'_{a} = \frac{Q + m_{b} e (v_{b} - v_{a})}{m_{a} + m_{b}}

e

v'_{b} = \frac{Q + m_{a} e (v_{a} - v_{b})}{m_{a} + m_{b}}

onde

Q = m_{a} v_{a} + m_{b} v_{b}

é a quantidade de movimento/momento linear do sistema (conservado), no caso dado em função das velocidades escalares dos objetos antes do impacto

v'_{a}

é a velocidade final do primeiro objeto após o impacto

v'_{b}

é a velocidade final do segundo objeto após o impacto

v_{a}

é a velocidade inicial do primeiro objeto antes do impacto

v_{b}

é a velocidade inicial do segundo objeto antes do impacto

m_{a}

é a massa do primeiro objeto

m_{b}

é a massa do segundo objeto

Essa fórmula pode ser deduzida a partir da solução de um sistema de equações, sendo a primeira a lei da conservação do momento linear do sistema e a segunda a definição do coeficiente de restituição:

{\begin{matrix} m_{a} v'_{a} + m_{b} v'_{b} = (m_{a} v_{a} + m_{b} v_{b}) \\ - v'_{a} + v'_{b} = e (v_{a} - v_{b}) \end{matrix}

Multiplicando a equação de baixo por

m_{a}

, vem

{\begin{matrix} m_{a} v'_{a} + m_{b} v'_{b} = (m_{a} v_{a} + m_{b} v_{b}) \\ - m_{a} v'_{a} + m_{a} v'_{b} = m_{a} e (v_{a} - v_{b}) \end{matrix}

Somando-se as duas equações, cancela-se o termo em

m_{a}

. Portanto, tem-se, chamando-se

(m_{a} v_{a} + m_{b} v_{b})

de

Q

:

\begin{matrix} m_{b} v'_{b} + m_{a} v'_{b} = m_{a} e (v_{a} - v_{b}) + Q \\ v'_{b} (m_{a} + m_{b}) = Q + m_{a} e (v_{a} - v_{b}) \\ v'_{b} = \frac{Q + m_{a} e (v_{a} - v_{b})}{m_{a} + m_{b}} \end{matrix}

Obviamente, basta que se repita a resolução do sistema para determinar a equação em função do corpo $a$ .

Ligações externas

de:Stoß (Physik)#Realer Stoß

Coeficiente de restituição

Equação

Ligações externas

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