Teorema dos resíduos

Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado

Seja $U$ um aberto simplesmente conexo de $ℂ$ (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ uma parte finita de $U$, seja $f$ uma função analítica de $U-\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ em $ℂ$ e seja $\gamma$ um lacete com valores em $U$. Então o teorema dos resíduos afirma que

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\sum _{k=1}^n\mathrm{ind}(a_k,\gamma )\mathrm{res}(a_k,f)$

onde

• $\text{ind}(a_k,\gamma )$ é o índice de $\gamma$ relativamente a $a_k$;
• $\text{res}(a_k,f)$é o resíduo da função $f$ em $a_k$.

Exemplos

• Considere-se a função $f$ de $ℂ-\{0\}$ em C definida por $f(z):=1/z$ e o lacete $\gamma$ de [0,2π] em $ℂ$ definido por $\gamma (t)=\cos (t)+\text{i}\sin (t)=e^{\text{i}t}$. Um cálculo direto revela que

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)}dt=2\pi i,$

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando $U=ℂ$)

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\mathrm{ind}(0,\gamma )\mathrm{res}(0,f)=1\times 1=1.$

• Considere-se a função $f$ de $ℂ-\{\pm 1\}$ em $ℂ$ definida por $f(z):=\frac{z}{z^2-1}$e o lacete $\gamma$ de $[0,2\pi ]$ em $ℂ$ definido por $\gamma (t)=2\cos (t)+\text{i}\sin (t)$. Então, pelo teorema dos resíduos,

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }f(z)dz& =2\pi i(\mathrm{ind}(1,\gamma )\mathrm{res}(1,f)+\mathrm{ind}(-1,\gamma )\mathrm{res}(-1,f))\\ & =2\pi i(1\times \frac{1}{2}+1\times \frac{1}{2})\\ & =2\pi i.\end{array}$

Relação com a fórmula integral de Cauchy

Seja $f$ uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado $\{z\in ℂ:|z-w|\le r\}$, para algum $w\in ℂ$ e para algum $r>0$. Se se definir o lacete $\gamma$ de $[0,2\pi ]$ em $ℂ$ por $\gamma (t)=w+r\cdot e^{\text{i}t}$, então faz sentido, para cada $a\in ℂ$ tal que $|a-w|<r$, considerar o integral de $\frac{f(z)}{z-a}$ao longo de $\gamma$ e a fórmula de Cauchy diz que

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{z-a}dz=f(a).$

Mas, visto que $\text{ind}(a,\gamma )=1$ e que

$\mathrm{res}(a,\frac{f(z)}{z-a})=f(a)$

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.