Primorial

Predefinição:Sem fontes Na matemática, o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por $n #$ e é definido como o produto de todos os números primos menores ou iguais a n. O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.

Exemplos

Eis uma tabela de primoriais. Veja também Predefinição:OEIS.

Para todo $n \geq 1$ , $n # < 4^{n}$ A demonstração se faz por indução matemática.

n # = (n - 1) # < 2^{n - 1} < 2^{n}

\begin{matrix} 4^{m} & = \frac{1}{2} (1 + 1)^{2 m + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{2 m + 1} (\binom{2 m + 1}{k}) \\ > \frac{1}{2} ((\binom{2 m + 1}{m}) + (\binom{2 m + 1}{m + 1})) = (\binom{2 m + 1}{m}) . \end{matrix}

Como cada número primo p, $m + 1 < p \leq 2 m + 1$ é divisor de $(\binom{2 m + 1}{m + 1})$ , temos que:

\prod_{p > m + 1}^{p \leq 2 m + 1} p \leq (\binom{2 m + 1}{m}) < 4^{m} .

Agora, podemos estimar:

n # = (2 m + 1) # = (m + 1) # \prod_{p > m + 1}^{p \leq 2 m + 1} p < 4^{m + 1} 4^{m} = 4^{2 m + 1} = 4^{n} .

E o resultado segue.