Prova de que 22/7 é maior que π

A razão entre o comprimento e o diâmetro desta circunferência não é 22/7, pois 22/7 não é uma representação perfeita de Predefinição:Pi

Predefinição:Caixa Pi A demonstração da famosa desigualdade $\frac{22}{7}>\pi$ remonta à antiguidade. A versão apresentada neste verbete usa recursos modernos, mas não vai além de conceitos básicos do cálculo. O objetivo desta apresentação não é convencer o leitor da desigualdade, dado que existem métodos sistemáticos de calcular o valor de pi com aproximação arbitrária. A elegância desta prova resulta da ligação com a teoria das aproximações diofantinas. Stephen Lucas afirmou ser esta demonstração "um dos mais belos resultados ligados à aproximação de π". Julian Havil finaliza uma discussão sobre frações continuadas aproximantes de Predefinição:Pi com este teorema, afirmando ser "impossivel resistir a mencioná-lo" naquele contexto.

Contexto

A fração Predefinição:Sfrac é uma aproximação diofantina de [[pi|Predefinição:Pi]] amplamente usada. É um dos termos da fração continuada de Predefinição:Pi. É muito fácil verificar que $\frac{22}{7}>\pi$ observando as expansões decimais:

$\begin{array}{cc}\frac{22}{7}& \approx 3.14285714\dots \\ \pi & \approx 3.14159265\dots \end{array}$

Esta aproximação é conhecida desde a antiguidade, Arquimedes escreveu a primeira prova conhecida deste resultado no século III a.C. A demonstração de Arquimedes consistia em mostrar que 22/7 é maior que a razão entre o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito em uma circunferência e o diâmetro da circunferência.

Ideia básica

A ideia básica desta demonstração consiste em mostrar as seguinte relações:

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi .$

Portanto ²²⁄₇ > π.

Detalhes

Positividade da integral

$\begin{array}{ccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx& \ge & \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{2}dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8)\\ & =& \frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{4}{6}+\frac{6}{7}-\frac{4}{8}+\frac{1}{9})\\ & =& \frac{1}{1260}>0\end{array}$

Valor exato da integral definida

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx$	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}dx$	(expandindo termos no numerador)
	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})dx$	(efetuada a divisão polinomial)
	$={\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x|}_0^1$	(integração termo-a-termo)
	$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi$	(aplicação numérica)
	$=\frac{22}{7}-\pi .$	(simplificação)

Resultado refinado

Em 1944, Dalzell refinou este resultado usando as seguintes cotas para a integral:

$\frac{1}{1260}<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx<\frac{1}{630}.$

Então temos:

$\frac{22}{7}-\frac{1}{630}<\pi <\frac{22}{7}-\frac{1}{1260}.$

Este método permite calcular de forma simples o valor de Predefinição:Pi com três casas decimais.

Ligações externas

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