Equação de Lane-Emden

A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação

Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da superfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:

• $\frac{1}{{\zeta }^2}\frac{d}{d\zeta }\left({\zeta }^2\frac{d\theta }{d\zeta }\right)+{\theta }^n=0$

onde $\zeta$ é o raio reescalonado:

$\zeta =r{\left(\frac{4\pi G{\rho }_c^2}{(n+1)P_c}\right)}^{\frac{1}{2}}$

e a densidade $\rho$ é dada como.

$\rho ={\rho }_c{\theta }^n$

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em $r=0$:

• $\frac{d\theta }{dr}=0$

O valor de $\theta$ em $r=0$, pode ser obtido a partir do valor da densidade:

$\theta (0)={(\rho (0)/{\rho }_c)}^{1/n}$ é dado

No caso mais comum em que escolhe-se ${\rho }_c=\rho (0)$, temos:

• $\theta (0)=1$

Contexto físico

No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade $\rho$ por uma equação de estado da forma:

$P=C{\rho }^{\gamma }(1)$,

onde C é uma constante e $\gamma$ é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiabática se relaciona com índice do politropo pela relação:

$\gamma =1+\frac{1}{n}$.

O fluido está submetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

$g=g(r)$

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

$g(r)=\frac{G}{r^2}M(r)(2)$

onde $M(r)$ é massa total contida até a distância r do centro:

$M(r)=4\pi \underset{o}{\overset{r}{\int }}{s}^2\rho (s)ds(3)$

aqui $\rho (s)$ é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

$\mathrm{\nabla }P=\rho g(4)$

Derivação da equação de Lane-Emden

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

$C\gamma {\rho }^{\gamma -1}\frac{d\rho }{dr}=\rho g(5)$

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

$C\gamma {\rho }^{\gamma -1}\frac{d\rho }{dr}=4\pi \rho \frac{G}{r^2}\underset{o}{\overset{r}{\int }}{s}^2\rho (s)ds$

ou, equivalentemente:

$C\gamma r^2{\rho }^{\gamma -2}\frac{d\rho }{dr}=4\pi G\underset{o}{\overset{r}{\int }}{s}^2\rho (s)ds(6)$

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade $\rho$ em função de $r$. Diferenciando ambos os lados da equação por $r$, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

$\frac{d}{dr}\left[C\gamma r^2{\rho }^{\gamma -2}\frac{d\rho }{dr}\right]=4\pi G{r}^2\rho$

A ideia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

$\rho ={\rho }_c{\theta }^n\gamma =1+1/n$

$\frac{d}{dr}[C(n+1){\rho }_c^{\gamma -1}{r}^2\frac{d\theta }{dr}]=4\pi G{r}^2{\rho }_c{\theta }^n$

ou, equivalentemente:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[r^2\frac{d\theta }{dr}\right]=\frac{4\pi G{\rho }_c^{2-\gamma }}{C(n+1)}{\theta }^n$

A equação de estado (1) sugere definir $P_c:=C{\rho }_c^{\gamma }$, de forma que:

$\frac{P}{P_c}={\left(\frac{\rho }{{\rho }_c}\right)}^{\gamma }$

e assim, obtemos:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[r^2\frac{d\theta }{dr}\right]=\frac{4\pi G{\rho }_c^2}{(n+1)P_c}{\theta }^n$

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

$\zeta =r{\left(\frac{4\pi G{\rho }_c^2}{(n+1)P_c}\right)}^{\frac{1}{2}}$

Soluções da equação

Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n =	0	1	5
$\theta$ =	$1-\frac{{\zeta }^2}{6}$	$\frac{\sin \zeta }{\zeta }$	${(1+\frac{{\zeta }^2}{3})}^{-\frac{1}{2}}$
ζ0 =	$\sqrt{6}$	$\pi$	∞

Aqui, ζ₀ indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0

O caso $n=0$ descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

$\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\zeta }^2}\frac{d}{d\zeta }\left({\zeta }^2\frac{d\theta }{d\zeta }\right)+1=0,& \zeta >0\\ \theta =1,\frac{d\theta }{d\zeta }=0,& \zeta =0\end{array}$

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

$\theta =-\frac{{\zeta }^2}{6}+\frac{C_1}{\zeta }+C_2$

a condição de a solução estar definida na origem implica $C_1=0$ e a condição $\theta (0)$ implica $C_2=1$. A solução é, portanto, dado por:

$\theta =1-\frac{{\zeta }^2}{6}$, cuja derivada vale:

$\frac{d\theta }{d\zeta }=-\frac{\zeta }{3}$, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1

No caso $n=1$, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

A solução geral desta equação é dada por:

$\theta =C_1\frac{\cos \zeta }{\zeta }+C_2\frac{\sin \zeta }{\zeta }$

Da mesma forma, como foi feito para o caso $n=0$, $C_1=0$ e $C_2=0$, observando que:

$\underset{\zeta \to 0}{\lim }\frac{\sin \zeta }{\zeta }=1$ e, portanto, a solução é dada por:

$\theta =\frac{\sin \zeta }{\zeta }$ cuja derivada vale:

$\frac{d\theta }{d\zeta }=\frac{\zeta \cos \zeta -\sin \zeta }{{\zeta }^2}$ cujo limite quando $\zeta \to 0$ é nulo.

Soluções singulares

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo $n>3$, ou seja, $\gamma <4/3$ da seguinte forma:

$\theta =\frac{X}{{\zeta }^p}$,

onde

$X={\left(\frac{2(n-3)}{(n-1{)}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}$

$p=\frac{2}{n-1}$.

Transformações da Equação de Lane-Emden

• Substituindo $\theta =\frac{\chi }{\zeta }$, a equação reduz à

$\frac{d^2\chi }{d{\zeta }^2}=-\frac{{\chi }^n}{{\zeta }^{n-1}}$

• Substituindo $x=\frac{1}{\zeta }$ (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:

$x^4\frac{d^2\theta }{d{x}^2}=-{\theta }^n$

• As transformações de Emden consistem em fazer a seguinte mudança de variáveis:

$\theta =A{x}^{p}z,p=\frac{2}{n-1}$

que satisfaz a seguinte relação:

$\frac{d^2\theta }{d{x}^2}=A[x^p\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+2p{x}^{p-1}\frac{dz}{dx}+p(p-1)x^{p-2}z]$

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

$x^2\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+2px\frac{dz}{dx}+p(p-1)z+A^{n-1}{z}^n=0$

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

$x=\frac{1}{\zeta }=e^{t}t=\log x=-\log \zeta$

que reduz a última equação a:

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+(2p-1)\frac{dz}{dt}+p(p-1)z+A^{n-1}{z}^n=0$

Expansão em séries de Taylor

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de $r=0$ através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

$\theta (\zeta )=\sum _i^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\zeta }^i$

As condições iniciais implicam diretamente:

$a_0=1a_1=0$

os outros coeficientes devem ser obtidos substituindo a série de $\theta$ na equação. Este procedimento resulta em:

$\theta (\zeta )=1-\frac{1}{6}{\zeta }^2+\frac{n}{120}{\zeta }^4+(\frac{n}{3024}-\frac{n^2}{1890}){\zeta }^6+(\frac{n}{46656}-\frac{61n^2}{1088640}+\frac{61n^3}{1632960}){\zeta }^8+O({\zeta }^{10})$

Referências

• Predefinição:Link
• Predefinição:En Horedt, George Paul ( 1986 ) Predefinição:PDFlink, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357-408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.
• Predefinição:En Subrahmanyan Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, 1939, Dover Publications, Inc