Método de Frobenius

Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma

$z^2{u}^{″}+p(z)z{u}^{\prime }+q(z)u=0$

sendo

$u^{\prime }\equiv \frac{du}{dz}$ Predefinição:Pad e Predefinição:Pad $u^{″}\equiv \frac{d^{2}u}{d{z}^2}$

nas vizinhanças do ponto singular regular $z=0$. Dividindo a expressão por $z^2$, obtém-se a seguinte equação diferencial:

$u^{″}+\frac{p(z)}{z}{u}^{\prime }+\frac{q(z)}{z^2}u=0$

que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z² não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).

Explicação

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma: $$u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}$$

Diferenciando em relação a $z$ $$u^{\prime }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r)A_k{z}^{k+r-1}$$ $$u^{″}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r-2}$$

Substituindo na equação (1):

$$\begin{array}{cc}0& =z^2{u}^{″}+p(z)z{u}^{\prime }+q(z)u\\ & =z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r)A_k{z}^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r}]+p(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[(k+r)A_k{z}^{k+r}]+q(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[A_k{z}^{k+r}]\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}([(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r}]+p(z)[(k+r)A_k{z}^{k+r}]+q(z)[A_k{z}^{k+r}])\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)]A_k{z}^{k+r}\\ 0& =(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_0{z}^r+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_k{z}^{k+r}\end{array}$$

A expressão $r(r-1)+p(0)r+q(0)=:I(r)$ é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em $r.$

Usando isto, a expressão geral do coeficiente $z^{k+r}$ é dada por: $$I(k+r)A_k+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j$$ Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita: $$I(k+r)A_k+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=0$$ $$\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=-I(k+r)A_k$$ $$\frac{1}{-I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=A_k$$ A série formada pelos A_k acima, $$U_r(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}$$ satisfaz $$z^2{U}_r(z{)}^{″}+p(z)z{U}_r(z{)}^{\prime }+q(z)U_r(z)=I(r)z^r$$ Se $r$ é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

Pontos singulares regulares

Os pontos singulares da equação diferencial

$P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=0$

são os pontos $x_0$ onde

$P(x_0)=0$

Se os seguintes limites existem:

$A=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{xQ(x)}{P(x)}B=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^{2}R(x)}{P(x)}$

diz-se que o ponto $x_0$ é um ponto singular regular.

Se $x=0$ for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma

$y(x)=x^{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{n+r}$

A função $f(x)$ é analítica em $x=0$ e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que $f(0)$ é diferente de zero (se $f(0)$ for nula, fatoriza-se $x,$ e redefinem-se $r$ e $f$ ficando $f(0)$ diferente de zero).

Isso implica que a constante $a_0$ seja também diferente zero:

$a_0=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y}{x^r}=f(0)\ne 0$

As derivadas $y^{\prime }$ e $y^{″}$ são

$\begin{array}{cc}& y^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+r)a_n{x}^{n+r-1}\\ & y^{″}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+r)(n+r-1)a_n{x}^{n+r-2}\end{array}$

Para calcular o valor do índice $r$ primeiro observamos que

$\begin{array}{ccc}\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{1-r}{y}^{\prime }& =& r{a}_0\\ \underset{x\to 0}{\lim }{x}^{2-r}{y}^{″}& =& r(r-1)a_0\end{array}$

a seguir multiplicamos a equação diferencial por $x^{2-r}$ e dividimos por P

$x^{2-r}{y}^{″}+\frac{xQ}{P}{x}^{1-r}{y}^{\prime }+\frac{x^{2}R}{P}{x}^{-r}y=0$

No limite $x=0$ e usando as constantes $A$ e $B$ definidas acima

Das equações obtemos:

$[r(r-1)+Ar+B]a_0=0$

Como $a_0$ é diferente de zero, $r$ deverá ser solução da chamada equação indicial:

$r(r-1)+Ar+B=0$

Para cada raiz real $r$ da equação indicial substituímos as séries para $y,$ $y^{\prime }$ e $y^{″}$ na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes $a_n.$

Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

Solução em séries em pontos singulares

Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.

teorema Frobenius

Se $r_1$ e $r_2$ são duas raízes da equação indicial (em $x=0$) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em $x=0,$ existem três casos, a depender dos valores de $r_1$ e $r_2:$

• Se $r_1-r_2$ for diferente de zero e diferente de um número inteiro,

cada raiz conduz a uma solução diferente.

• Se $r_1=r_2,$ é possível obter uma única solução $y_1$ a partir do

método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:

$y_2(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^{n+r_1}+y_1\ln x$

onde a sucessão $b_n$ deverá ser obtida por substituição de $y_2$ na equação diferencial.

• Se $r_1-r_2$ for um número inteiro, existirá uma solução $y_1$ com a

forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:

$y_2(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^{n+r_2}+c{y}_1\ln x$

onde $c$ é uma constante.

Nos casos em que $c=0,$ a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções $y_1$ e $y_2$ linearmente independentes.

Quando $c$ não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de $y_2$ na equação diferencial.

Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:

$y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$

Em alguns casos as condições fronteira exigem que $y$ seja finita na origem o qual implica $C_2=0,$ se $r_2<0$ ou $r_2=r_1,$ já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem.

Se $r_1-r_2$ é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução $y_1,$ $C_2$ será também nula e não será preciso calcular $y_2.$