Escalar de curvatura de Ricci

Predefinição:Sem fontes Em matemática, a curvatura escalar de uma superfície é a familiar curvatura gaussiana. Para as variedades riemannianas de dimensão mais alta (n > 2), é o dobro da soma de todas as curvaturas seccionais ao longo de todos os 2-planos atravessados por um certo marco ortonormal. Matematicamente a curvatura escalar coincide também o traço total da curvatura de Ricci assim como do tensor de curvatura.

Expressão em componentes

O escalar de curvatura de Ricci $R$ pode ser expresso em termos do tensor métrico $g_{\mu \nu }$ (e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana. Usando a convenção de soma de Einstein, obtemos

$R=-g^{\mu \nu }[{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \sigma }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\sigma }]-{\partial }_{\nu }[g^{\mu \nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\nu }]$,

em que os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior são calculados a partir das derivadas primeiras das componentes do tensor métrico, isto é,

${\mathrm{\Gamma }}_{kl}^i=\frac{1}{2}{g}^{im}(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m})$.

Também podemos representar o tensor escalar da curvatura de Ricci como

$R=g^{ab}{R}_{ab}=g^{ab}({\partial }_{\kappa }{{\mathrm{\Gamma }}^{\kappa }}_{ba}-{\partial }_b{{\mathrm{\Gamma }}^{\kappa }}_{\kappa a}+{{\mathrm{\Gamma }}^{\eta }}_{ba}{{\mathrm{\Gamma }}^{\kappa }}_{\kappa \eta }-{{\mathrm{\Gamma }}^{\eta }}_{\kappa a}{{\mathrm{\Gamma }}^{\kappa }}_{b\eta })$,

sendo $R_{ab}$ o tensor de curvatura de Ricci.