Equação de difusão

A equação da difusão é uma equação em derivadas parciais que descreve flutuações de densidade em um material que se difunde. É também usada para descrever processos exibindo um comportamento de difusão.

Equação

A equação é geralmente escrita como:

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D(\varphi ,\overrightarrow{r})\mathrm{\nabla }\varphi (\overrightarrow{r},t))$ .

Nesta expressão $\varphi$ é a densidade do material que difunde, $t$ é o tempo, e $D$ é o coeficiente de difusão coletivo, $\overrightarrow{r}$ é a coordenada espacial e o símbolo nabla (∇) representa o vetor operador diferencial del. Se o coeficiente de difusão depende da densidade, então a equação não é linear; de outra maneira seria linear. Se D é constante, então a equação se reduz à seguinte equação linear:

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (\overrightarrow{r},t)$ .

Mais geralmente, quando D é uma matriz simétrico definida positiva, a equação descreve uma difusão anisótrica.

Dedução

A equação de difusão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade. A mesma expressa que uma alteração na densidade em um sistema é devido a um fluxo em entrada ou a um fluxo em saída de material do sistema. Ou seja, não pode haver nem criação nem destruição de matéria.

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}=0$ .

Nesta expressão $\overrightarrow{j}$ é o fluxo de material que difunde. A equação de difusão pode ser obtida facilmente desta relação quando é combinada com a Lei de Fick, que assume que o fluxo do material que difunde em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local de densidade:

$\overrightarrow{j}=-D(\varphi )\mathrm{\nabla }\varphi (\overrightarrow{r},t)$.

Ver também

• Difusão

Ligações externas

• Difusión y Ley de Fick Predefinição:Es