Teorema de Clairaut-Schwarz

Predefinição:Reciclagem Predefinição:Mais fontes Na análise matemática, o teorema de Clairaut-Schwarz é uma condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais cruzadas de uma função de várias variáveis. O teorema estabelece que, se as derivadas parciais cruzadas existem e são contínuas, então são iguais. O nome do teorema é uma referência aos não-contemporâneos Alexis Claude de Clairaut e Hermann Amandus Schwarz.

Enunciado

Enunciado geral

Seja $D\subseteq {ℝ}^n$ um conjunto aberto e $f:D\to ℝ$ um campo escalar de classe $C^2$. Então, para qualquer ponto $(d_1,d_2,\dots ,d_n)\in D$:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(d_1,\dots ,d_n)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(d_1,\dots ,d_n)$

Caso particular a duas variáveis

Seja $D\subseteq {ℝ}^2$ um conjunto aberto e $f:D\to ℝ$ um campo escalar de classe $C^2$. Então, para qualquer ponto $(x,y)\in D$:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)$

Exemplos de aplicações

Aplicando o teorema no operador del de alta ordem se obtêm que:

$\mathrm{\nabla }{}_n\left(\mathrm{\nabla }{}_{m}f\right)=\mathrm{\nabla }{}_m\left(\mathrm{\nabla }{}_{n}f\right)$

Segundo Stewart, 2007, o teorema de Clairaut-Schwarz é válido se ambas derivadas parciais mistas forem contínuas em seus domínios.

Seu análogo em integrais duplas/iteradas é o Teorema de Fubini.

O teorema também é fundamental para a física, como exemplo nas relações de Maxwell. Predefinição:Referências