Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

Predefinição:Sem fontes O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se $G$ é um grupo finito e $H$ é subgrupo de $G$ então a ordem (quantidade de elementos) de $H$ divide a ordem de $G.$ Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se $\star$ é uma relação de equivalência em $S$ então $S=\bigcup [a],$ onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde $[a]\ne [b]$ implica $[a]\cap [b]=\mathrm{\varnothing }.$ Ou seja, $\star$ particiona $S$ em classes de equivalência.

Demonstração Seja $a\in S.$ Note que $a\in [a].$ Portanto, é claro que $S=\bigcup _{a\in S}[a].$

Suponhamos que $[a]\cap [b]\ne \mathrm{\varnothing }$ e provemos que $[a]=[b].$

Seja $c\in [a]\cap [b].$

Então $c\star a$ e $c\star b.$

Por um lado $\{\begin{array}{c}c\star a\iff a\star c\\ c\star b\end{array}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]$

Por outro $\{\begin{array}{c}c\star a\\ c\star b\iff b\star c\end{array}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].$

Seja $x\in [a].$

Então $x\star a.$

Mas $a\star b,$ logo $x\star b$ e assim $x\in [b].$

Portanto $[a]\subset [b].$ Seja $y\in [b].$

Então $y\star b.$ Mas $b\star a,$ logo $y\star a$ e assim $y\in [a].$

Portanto $[b]\subset [a].$

E, dessa forma, $[a]=[b].$ $◻$

Demonstração do Teorema de Lagrange

Seja $\star$ a relação de equivalência definida por $a\star b$ se $a{b}^{-1}\in H.$

Temos que $[a]=Ha=\{ha|h\in H\}.$

Seja $k$ o número de classes de distintas de $G$ - chamemo-as de $H{a}_1,\dots ,H{a}_k.$

Pelo Teorema 0.1, $G=H{a}_1\cup \dots \cup H{a}_k$ e sabemos que $H{a}_i\cap H{a}_j=\mathrm{\varnothing },$ se $i\ne j.$

Provemos que qualquer $H{a}_i$ possui $|H|$ elementos.

Seja $\phi :H\to H{a}_i$ uma função tal que $\phi (h)=h{a}_i,\mathrm{\forall }h\in H$

Provemos que $\phi$ é bijetora.

Note que $\phi$ é injetora pois $\phi (h)=h{a}_i=h^{\prime }{a}_i=\phi (h^{\prime })$ implica $h=h^{\prime }$ e é sobrejetora pela definição de $H{a}_i.$

Potanto, $\phi$ é bijetora e, assim, $|H{a}_i|=|H|.$

Como $G=H{a}_1\cup \dots \cup H{a}_k$ e tais $H{a}_i$ são disjuntos com $|H|$ elementos, teremos que $|G|=k|H|.$

Portanto, $|H|$ divide $|G|.$ $◻$