Símbolo de Levi-Civita

Símbolo de Levi-Civita

Em matemática e em particular em cálculo tensorial, define-se símbolo de Levi-Civita, também chamado de símbolo de permutação, como se segue:

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{se }(i,j,k)\text{ é }(1,2,3),(2,3,1)\text{ ou }(3,1,2)\\ -1& \text{se }(i,j,k)\text{ é }(3,2,1),(1,3,2)\text{ ou }(2,1,3)\\ 0& \text{de outra maneira: }i=j\text{ ou }j=k\text{ ou }k=i\end{array}$

nomeado assim por Tullio Levi-Civita. Utiliza-se em muitas áreas das matemática e em física. Por exemplo, em álgebra linear, o produto vectorial de dois vectores pode ser escrito como:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i=1}^3\left(\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k\right){𝐞}_i$

ou mais simplesmente:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k$

esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein, convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação.

O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:

${ϵ}_{ijkl\dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{se }(i,j,k,l,\dots )\text{ é uma permutação par de }(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{se }(i,j,k,l,\dots )\text{ é uma permutação ímpar de }(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{se dois índices são iguais}\end{array}$

Ver permutação par ou grupo simétrico para uma definição de 'permutação par' e de 'permutação ímpar'.

Relação com o delta de Kronecker

O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker. Em três dimensões, a relação é dada pelas seguintes equações:

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}=\det \left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|$

$={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})+{\delta }_{im}({\delta }_{jn}{\delta }_{kl}-{\delta }_{jl}{\delta }_{kn})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})$

Uma consequência importante da relação acima é dada pela equação abaixo:

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}=\sum _{i=1}^3(\det \left|\begin{array}{ccc}1& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{ji}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{ki}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|)=\sum _{i=1}^3({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}+{\delta }_{im}({\delta }_{jn}{\delta }_{ki}-{\delta }_{ji}{\delta }_{kn})+{\delta }_{in}({\delta }_{ji}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{ki}))$

Como ${\delta }_{im}$ e ${\delta }_{in}$ são diferentes de zero somente para $i=m$ e $i=n$, respectivamente, o resultado da soma é:

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}=3({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})+({\delta }_{jn}{\delta }_{ki}-{\delta }_{ji}{\delta }_{kn})+({\delta }_{ji}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{ki})={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

A relação acima é muito utilizada em cálculo vetorial.

Uso na dedução de relações do cálculo vetorial

A relação entre o produto de símbolo de Levi-Civita e o produto de deltas de Kronecker permite deduzir com facilidade diversas relações de operações entre vetores e operadores vetoriais. Por exemplo a fórmula abaixo, informalmente conhecida por “BAC-CAB”, pode ser derivada de uma maneira simples e direta utilizando o formalismo acima.

$$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐁(𝐀.𝐂)-𝐂(𝐀.𝐁)$$

Seja $𝐃=𝐁\times 𝐂$. Sua componente i, como visto acima, pode ser representada por $D_i={\epsilon }_{ijk}{B}_j{C}_k$, onde índices repetidos seguem a convenção de Einstein, ou seja, indicam a existência de um somatório no respectivo índice. No caso como há dois índices repetidos há dois somatórios implícitos (em $j$ e $k$).

Da mesma forma $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐀\times 𝐃={\epsilon }_{mni}{A}_n{D}_i$, onde o símbolo de Levi-Civita foi definido com os índices $mni$ para distinguí-lo daquele contido em D com índices $ijk$ e tomando o ultimo índice igual a $i$ $\left(mni\right)$ pois trata-se da componente $D_i$, pelo menos motivo o índice $n$ em $mni$ refere-se à componente $A_n$. Expressando $𝐃$ em termos de $𝐁$ e $𝐂$, a expressão torna-se:

$$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)={\epsilon }_{mni}{A}_n{\epsilon }_{ijk}{B}_j{C}_k$$

A vantagem de utilizar esse formalismo se deve ao fato de poder utilizar grandezas escalares ao invés de vetoriais o que facilita a sua manipulação. Como todos os termos são escalares pode-se comutá-los:

$$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)={\epsilon }_{mni}{\epsilon }_{ijk}{A}_n{B}_j{C}_k$$

Utilizando a relação ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{mni}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$, descrita acima, a expressão pode ser rescrita como:

$$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})A_n{B}_j{C}_k={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}{A}_n{B}_j{C}_k-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}{A}_n{B}_j{C}_k$$

O termo ${\delta }_{jm}{\delta }_{kn}{A}_n{B}_j{C}_k$ só é não nulo se, simultaneamente, $j=m$ e $k=n$, ou seja, resta apenas o termo $A_n{B}_m{C}_n$. Analogamente o termo ${\delta }_{jn}{\delta }_{km}{A}_n{B}_j{C}_k$ só é não nulo se, simultaneamente, $j=n$ e $k=m$, restando apenas o termo $A_n{B}_n{C}_m$. Esse resultado é devido à propriedade da delta de Kronecker.

Usando a comutatividade e associatividade de escalares, tem-se a componente m da relação:

$${[𝐀\times (𝐁\times 𝐂)]}_m=B_m(A_n{C}_n)-C_m(A_n{B}_n)$$

Os termos em parênteses tem índices repetidos e portanto implicam um somatório, em particular, trata-se do produto escalar de dois vetores. Finalmente, expressando o resultado em termos de vetores novamente:

$$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)$$