Medida de Hausdorff

Em matemática, a medida de Hausdorff é um tipo de medida exterior cujo nome se deve ao matemático alemão Felix Hausdorff e que associa a cada subconjunto do espaço euclidiano ${ℝ}^n$ um número real estendido não negativo. O conceito pode ser definido para qualquer espaço métrico.

A medida de Hausdorff em ${ℝ}^n$ está definidade para cada dimensão d maior ou igual a 0 (onde d é um número real, não estanto restrito aos números inteiros). A medida de Hausdorff de dimensão 0 de um conjunto S é o número de pontos deste conjunto, a medida de dimensão 1 de uma curva retificável é o comprimento dela, a medida de dimensão 2 de uma superfície é a medida da sua área.

Definição

Seja X um espaço dotado da uma métrica $\rho$.

O diâmetro de um conjunto U é:

$\text{diam}(U)=\sup \{\rho (x,y):x,y\in U\}$

Defina a seguinte quantidade:

$H_{\delta }^d(S)=2^{-d}{\alpha }_d\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{diam}(U_i{)}^d:\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_i\supset S,\mathrm{diam}(U_i)<\delta \}.$

em que:

${\alpha }_d=\frac{{\pi }^{d/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{d}{2}+1)}.$

Note-se que o ínfimo é tomado sobre todos as coberturas contáveis de S por conjuntos $U_i\subset X$ de diâmetro menor que δ, e a constante ${\alpha }_d$ é o volume da esfera unitária.

É fácil ver que $H_{\delta }^d(S)$ é monotonicamente decrescente em δ, uma vez que quanto maior δ, maior é a coleção de conjuntos permitida ao tomar o ínfimo. De onde, o limite $\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^d(S)$ existe.

Finalmente, a medida de Hausdorff de dimensão d é definida por  :

$H^d(S):=\underset{\delta >0}{\sup }{H}_{\delta }^d(S)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^d(S).$

Dimensão de Hausdorff

Predefinição:Artigo principal A definição se Hausdorff de um conjunto S se está relacionada à medida de Hausdorff através de :

${\dim }_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}(S)=\inf \{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup (\{d\ge 0:H^d(S)=\mathrm{\infty }\}\cup \{0\}),$

onde adota-se:

$\inf \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\infty }$.