Matriz de permutação

Matriz de permutação, representada através de uma grelha quadrada binária.

Na matemática, na álgebra linear, uma matriz de permutação é uma matriz quadrada binária que tem o efeito de gerar uma permutação dos elementos de um vetor ou entre linhas ou colunas de uma matriz.

É formada apenas de zeros e uns, sendo o valor de apenas um elemento por linha e por coluna que igual a um.

Matrizes representam transformações lineares.

Permutações são um tipo específico de transformação linear e as matrizes que as representam também são específicas.

Exemplos

Permutação de um vetor de dimensão 1

Com um único elemento, não há permutação que altere o vetor inicial, pois não há mais de um elemento para que a ordem destes seja modificada.

Há 1 matriz de permutação neste caso:

$\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)$

Permutação de um vetor de dimensão 2

No caso de um vetor de dimensão dois, apenas 2 permutações são possíveis: a que mantêm o vetor idêntico e a que inverte a ordem de suas coordenadas.

Estas transformações são representadas pelas matrizes:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ e $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Permutação de um vetor de dimensão 3

No espaço de dimensão 3, há 6 possíveis matrizes de permutação.

Um exemplo é a matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Aplicá-la a um vetor

$v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

significa multiplicar à esquerda:

$Av=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Apenas a ordenação dos elementos foi alterada.

Propriedades

Não singular

• O determinante de uma matriz de permutação é sempre = ±1; e
• $A{A}^T=A^{T}A=I$,

se $A^T$ é a transposta de $A$.

Comportamento cíclico

Permutações sequências com a mesma regra levarão ao estado inicial ciclicamente.

Ligações externas

• Predefinição:Link

Predefinição:Classes de matriz Predefinição:Mínimo