Relações entre a série e a transformada de Fourier

No campo matemático da análise harmônica, a transformada de Fourier tem relações muito próximas com a série de Fourier. Também está estreitamente relacionada com a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) e a transformada discreta de Fourier (DFT).

A transformada de Fourier pode ser aplicada tanto para tempo discreto como para sinais periódicos no tempo usando o formalismo do delta de Dirac. Na verdade, a série de Fourier, a DTFT e a DFT podem ser derivadas em da transformada contínua de Fourier geral. Elas são, do ponto de vista teórico, os casos particulares da transformada de Fourier.

Na teoria de sinais e no processamento digital de sinais (PDS), a DFT (implementada como transformada rápida de Fourier) é amplamente utilizada para calcular as aproximações do espectro de um sinal contínuo, conhecendo-se apenas a sequência dos pontos amostrados. As relações entre a DFT e a transformada de Fourier são essenciais neste caso.

Definições

Na tabela a seguir são demonstradas as definições para a transformada contínua de Fourier, série de Fourier, DFT e DTFT:

Definições da Transformada de Fourier

×	Tempo Contínuo	Tempo Discreto
Aperiódico	$x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{i2\pi ft}df$	$x[n]=T\underset{-\frac{1}{2T}}{\overset{\frac{1}{2T}}{\int }}\overline{X}(f)e^{i2\pi fnT}df$
-	$X(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i2\pi ft}dt$	$\overline{X}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]e^{-i2\pi fnT}$
Periódico	$\overline{x}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X[k]e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}$	$x_n=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_k{e}^{i\frac{2\pi }{N}kn}n=0,\dots ,N-1.$
-	$X[k]=\frac{1}{T_0}\underset{-\frac{T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}\overline{x}(t)e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}dt$	$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-i\frac{2\pi }{N}kn}k=0,\dots ,N-1$

A tabela mostra as propriedades do sinal no domínio do tempo:

• Tempo contínuo” X “Tempo discreto” (colunas),
• Aperiódico” X “Periódico” (linhas).

Equações necessárias para relacionar as várias transformadas

As definições apresentadas na seção anterior podem ser introduzidas axiomaticamente ou podem ser derivadas da transformada contínua de Fourier usando o formalismo estendido do delta de Dirac. O uso desse formalismo da transformada contínua de Fourier pode ser aplicado também aos sinais discretos ou periódicos.

Para calcular a transformada contínua de Fourier de sinais discretos e/ou periódicos precisamos inserir algumas equações e recordar algumas propriedades da transformada de Fourier. Abaixo é apresentada uma lista delas:

1. A primeira fórmula de somatório de Poisson:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t-n{T}_0)=\frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}$

2. A segunda fórmula de somatório de Poisson:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(nT)e^{-i2\pi nfT}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{T})$

3.A transformada do trem de impulsos (deltas de Dirac) é importante para compreender a relação entre o contínuo e o caso discreto ou periódico:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟺}\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T})$

4. Os teoremas que definem as propriedades da transformada de Fourier, em particular a propriedade da convolução.

Todas estas equações e propriedades podem ser demonstradas individualmente.

Uma vez calculada, a transformada contínua de Fourier dos sinais discretos e/ou periódicos pode ser relacionada com a DTFT, a série de Fourier e com a DFT das definições dadas acima.

Relações entre as várias transformadas

A figura a seguir representa as relações entre as várias transformadas.

Explicação dos símbolos:

• O sinal e sua transformada são ligados por seta dupla ($\leftrightarrow$)
• $x[n]$ e $X[k]$ são sequências infinitas
• $\overline{x}(t)$ e $\overline{X}(f)$ são sequências periódicas
• $x_n$, $X_k$ e ${\tilde{X}}_k$ são sequências finitas
• $ℱ\{\dots \}$ indica exclusivamente a transformada de Fourier.

As fórmulas de somatório de Poisson permitem ligar a série de Fourier e a DTFT com a transformada de Fourier (fórmulas “1” e “2” respectivamente).

A propriedade de convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.) permitem calcular a transformada de Fourier para sinais como função de tempo periódico ou tempo discretos de X(f)\,</math>. Na Figura 2 é mostrado que as operações correspondem, no domínio espectral, à amostragem de um sinal contínuo ou à periodização de um sinal aperiódico.

Da Figura 2 podemos ver que a amostragem no domínio do tempo tem o mesmo efeito sobre o espectro, tanto para um sinal aperiódico ($x(t)$) como para um sinal periódico ($\overline{x}(t)$) . Reciprocamente, a periodização no domínio do tempo tem o mesmo efeito espectral em um sinal contínuo ($x(t)$) e em um sinal discreto ($x[n]$).

FFT e a Transformada Contínua de Fourier

A transformada discreta de Fourier (DFT) é a transformada de uma sequência finita. Uma sequência finita pode ser imaginada como um sinal de periódico no tempo e tempo-discreto apenas em um período. Por este motivo o espectro precisa ser tanto periódico quanto discreto.

Seguindo as fórmulas de Poisson obteríamos ${\tilde{X}}_k$ como a definição da DFT. No entanto, a DFT é geralmente definida como $X_k$ (ver Figura 2 ou as definições anteriores). Por esta razão, a ligação entre a DFT e a transformada periódica $\overline{X}(f)$é diferente por um fator de escala a partir da relação obtida pela aplicação das fórmulas de Poisson (que nos leva para ${\tilde{X}}_k$ e não para ${\tilde{X}}_k$).

A amostra de pontos no espectro de um sinal contínuo pode ser calculada com precisão se o sinal for limitado em banda e a amostragem é feita com uma frequência acima da frequência de Nyquist. Neste caso, se o sinal é limitado em tempo podemos começar a amostragem antes que o sinal inicie e parar a amostragem depois que o sinal termine. Calculando a DFT desta sequência finita obtida a partir de tais amostras obtemos os valores amostrados do espectro do sinal original, além de um fator de escala $1/T$ (onde T é o intervalo de amostragem):

$\underset{DFT}{\underbrace{X_k}}=\underset{\text{DTFT}}{\underbrace{\overline{X}\left(\frac{k}{NT}\right)}}=\frac{1}{T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\underset{\text{FT}}{\underbrace{X\left(\frac{k-iN}{NT}\right)}}\simeq \frac{1}{T}\underset{\text{FT}}{\underbrace{X\left(\frac{k}{NT}\right)}}k=0,\dots ,N-1$

$\underset{DFT}{\underbrace{X_k}}=\underset{\text{DTFT}}{\underbrace{\overline{X}\left(\frac{k}{NT}\right)}}=\frac{1}{T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\underset{\text{FT}}{\underbrace{X\left(\frac{k-iN}{NT}\right)}}\simeq \frac{1}{T}\underset{\text{FT}}{\underbrace{X\left(\frac{k}{NT}\right)}}k=0,\dots ,N-1$

A última igualdade $\simeq$ está entre o espectro periódico $\overline{X}(f)$ avaliado em um período e do espectro do sinal contínuo $X(f)$. O símbolo $\simeq$ é também usado para salientar isso, se o sinal não é perfeitamente limitado em banda, temos sempre um pouco de aliasing que faz a igualdade não ser exata.

Normalmente em processamento digital de sinais (PDS) o sinal é demasiadamente longo para ser analisado por inteiro. Neste caso, o janelamento é usado para calcular amostras do espectro aproximadas por uma pequena parte de todo o sinal. Este processo adiciona inevitavelmente novos erros como fuga e scalloping losses.

DTFT e a Transformada Contínua de Fourier

A transformada de Fourier de tempo discreto é a transformada de uma sequência discreta. Como o domínio é o do tempo discreto, o espectro é periódico. Um sinal discreto $x[n]$ pode ser considerado como a amostragem de um sinal contínuo $x(t)$ em intervalos step $T$. O sinal amostrado pode ser analisado como um sinal contínuo usando o formalismo do delta de Dirac. Em particular a operação de amostragem é equivalente a multiplicação de um trem de impulsos de Dirac:

$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}}(t)& =x(t)\cdot (\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT))=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t-nT)=\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-nT)\end{array}$

Calculando a Transformada de Fourier do sinal amostrado usando a propriedade da convolução ('3.) e a transformada de um trem de impulsos (2.), e aplicando a segunda soma de Poisson, obtemos:

$ℱ\{x_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}}(t)\}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{T})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(nT)e^{-i2\pi nfT}=\overline{X}(f)$

Onde $X(f)$ é a transformada do sinal contínuo $x(t)$. Nota-se que a transformada de Fourier $x_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}}(t)$ é igual à DTFT de $x[n]$. A definição da DTFT pode ser considerada como uma forma de se calcular a transformada de Fourier do sinal amostrado usando somente os valores das amostras $x[n]$ (sem o formalismo do delta de Dirac). A última equação está no canto inferior esquerdo da Figura 2.

Outro aspecto importante é que a amostragem no domínio do tempo com passo $T$ corresponde à “periodização” do espectro com período $1/T$ e à multiplicação do espectro por um fator $1/T$. Esta relação pode ser vista na Figura 2 pela seta vertical que vai de $x(t)$ para $x[n]$ e de $X(f)$ para $\overline{X}(f)$.

Série de Fourier e a Transformada Contínua de Fourier

A série de Fourier é a expansão de um sinal periódico em uma combinação linear de componentes harmônicas discretas. Como o sinal é periódico o espectro não é continuamente distribuído pela frequência, mas sim concentrado em discretos, igualmente espaçados, valores de frequência. Essas frequências são múltiplas de uma frequência base, chamada de harmônica fundamental. A harmônica fundamental é o inverso do período do sinal.

Um sinal periódico $\overline{x}(t)$ pode ser considerado uma “periodização” com período $T_0$ de um sinal aperiódico $x(t)$. Em particular, a periodização é equivalente à convolução (símbolo $*$) de $x(t)$ por um trem de impulsos de Dirac.

$x_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}}(t)=\overline{x}(t)=x(t)*\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t-n{T}_0)$

Calculando a transformada de Fourier do sinal periódico usando a propriedade da convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.), e depois aplicando a primeira soma de Poisson (1.), obtemos:

$\begin{array}{cc}ℱ\{x_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}}\}& \stackrel{3,4}{=}X(f)\cdot \frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T_0})=\frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k}{T_0}\right)\delta (f-\frac{k}{T_0})=\\ & \stackrel{1}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X[k]\delta (f-\frac{k}{T_0})\end{array}$

Onde $X(f)$ é a transformada de Fourier do sinal aperiódico $x(t)$, e $X[k]$ são os coeficientes da série de Fourier para o sinal periódico $\overline{x}(t)$. Essa equação mostra que os coeficientes da série de Fourier de um sinal periódico são iguais as amplitudes dos deltas de Dirac da transformada de Fourier. A última equação é mostrada no canto superior direito da Figura 2.

Outro aspecto importante é que a “periodização” no domínio do tempo com período $T_0$ corresponde, na frequência, a uma discretização (amostragem) do espectro com passo $1/T_0$ e à multiplicação por um fator de $1/T_0$. Esta relação pode ser vista na Figura 2 seguindo as setas horizontais que vão de $x(t)$ a $\overline{x}(t)$ e de $X(f)$ a $X[k]$.

Ver também

• Transformada de Fourier
• Série de Fourier
• Operador unitário
• Processamento de sinal

Referências

• M. Luise, G. M. Vitetta: Teoria dei segnali, MacGraw-Hill, ISBN 88-386-0809-1 (versão em italiano apenas)