Derivada simétrica

figura 1

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.

É definida como:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.$$

Ou seja, se uma função $f$ é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.

A esse limite denotaremos como _{$f{\text{'}}_s(x)$} .

Relação com a Derivada

Seja $f:I\to R$ uma função e $x_0$ Є $I$ . Suponha que $f{\text{'}}_{+}(x_0)$ e $f{\text{'}}_{+}(x_0)$ existem, então $f$ tem derivada simétrica em $x_0$, e

• $f{\text{'}}_s(x_0)=\frac{f{\text{'}}_{+}(x_0)+f{\text{'}}_{-}(x_0)}{2}$ .

Demonstração:

Por hipótese existem $f{\text{'}}_{-}(x_0)$ e $f{\text{'}}_{+}(x_0)$. Nota-se que existe $f{\text{'}}_s(x_0)$. Então tomando

$\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$

$\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}$

$\frac{1}{2}\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$\frac{+1}{2}\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}$

$\frac{f{\text{'}}_{+}(x_0)+f{\text{'}}_{-}(x_0)}{2}$

com isso,

$f{\text{'}}_s(x_0)=\frac{f{\text{'}}_{+}(x_0)+f{\text{'}}_{-}(x_0)}{2}$ .

Observação 1 :

Se existir a derivada simétrica $f{\text{'}}_s(x_0)$ então não significa que existem as derivadas $f{\text{'}}_{-}(x_0)$ e $f{\text{'}}_{+}(x_0)$ . Vejamos com um exemplo:

• Considere a função $f:R\to R$ definida como:

$f(x)=$

$xsen\frac{1}{x},sex$ ≠ $0$

$0,sex=0$.

Basta examinar se se a função $f$ tem derivada simétrica em $0$.

veja:

$f{\text{'}}_s(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{hsen(\frac{1}{h})-[-hsen(\frac{-1}{h})]}{2h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{hsen(\frac{1}{h})-hsen(\frac{1}{h})}{2h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }0$

$=0$ , portanto a derivada simétrica de $f$ em zero existe e é igual a zero.

com isso, verifica-se que $f$ não tem derivada à direita em zero:

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.$$

$=\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{hsen(\frac{1}{h})}{h}$

$=\underset{h\to 0+}{\lim }sen(\frac{1}{h})$ , pois este limite não existe no zero e portanto $f$ não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.

com isso mostra-se que se $f$ tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

Observação2:

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:

• Seja $f:R\to R$ uma função definida por :

$f(x)=$${\displaystyle }$$(\frac{1}{x^2}sex$ ≠ $0$ e $0,sex=0)$ , esta função tem derivada simétrica em zero, note:

$f{\text{'}}_s(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{h^2}-\frac{1}{h^2}}{2h}$

$\underset{h\to 0}{\lim }0=0$ , portanto $f(x)=\frac{1}{x^2}$ é diferenciável simetricamente em $x=0$, mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

Observação 3:

• Seja $f:$ $R\to R$ uma função. Sabe-se que $f$ é uma função par se satisfaz $f(x)=f(-x)$, para todo $x$ Є $R$

Perceba que a função da Observação 1 é função par.

• Seja $f:R\to R$ uma função par, então $f$ tem derivada simétrica no ponto 0.

Demonstração:

Como $f$ é uma função par, temos que: $f(x)=-f(x)=0$, logo $\frac{f(h)-f(-h)}{2}=\frac{0}{2h}$ então $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{2h}=0$, ou seja , $f{\text{'}}_s(x)=0.$

Referências

• Predefinição:Citar livro