Representação de Schrödinger

Predefinição:Mecânica-quântica Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

O operador de evolução temporal

Definição

O operador de evolução temporal U(t,t₀) é definido como:

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$

Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t₀ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

$⟨\psi (t)|=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)$

Propriedades

Primeira propriedade

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩=⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩$

Em consequência disto,

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=I(U(t,t_0)).$

Segunda propriedade

Distintamente Predefinição:Nowrap, a função identidade. Como:

$|\psi (t_0)⟩=U(t_0,t_0)|\psi (t_0)⟩$

Terceira propriedade

A evolução temporal de t₀ para t pode ser vista como a evolução temporal de t₀ para um tempo t₁ indeterminado e de t₁ para o tempo final t. Então conclui-se:

$U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)$

Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Se dermos, por convenção, o índice t₀ no operador da evolução temporal de forma que Predefinição:Nowrap e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

$i\hslash \frac{d}{dt}U(t)|{\psi }_e(0)⟩=HU(t)|{\psi }_e(0)⟩$

Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como $|\psi (0)⟩$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma Predefinição:Nowrap), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

$i\hslash \frac{d}{dt}U(t)=HU(t)$

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

$U(t)=e^{-iHt/\hslash }.$

Onde nós também usamos o facto que Predefinição:Nowrap, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩.$

Perceba que $|\psi (0)⟩$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

$|\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩.$

Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

$U(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\text{'}})d{t}^{\text{'}}\right).$

Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Ver também

• Representação de Heisenberg
• Equação de Hamilton–Jacobi
• Representação de Dirac

Leitura recomendada

• Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press. Predefinição:En