Equação de momento

A equação de momento é uma afirmação decorrente da Segunda Lei de Newton e diz respeito à soma das forças que atuam sobre um elemento de fluido para a sua aceleração ou a taxa de variação do momento linear. Na mecânica dos fluidos, não fica claro que as partículas constituintes do fluido (como moléculas e átomos isolados, como no caso de hélio e outros gases nobres líquidos) se deslocam em massa de fluido seguindo a equação $F=m.a$ que é usada na análise de mecânica dos sólidos relacionando a força aplicada para a aceleração resultante, e deve-se usar assim uma forma diferente da equação.

A equação de momento (também podendo ser tratada como equação de momento linear) pode ser desenvolvida a partir da Segunda Lei de Newton a qual estabelece que a soma de todas as forças deve ser igual a taxa no tempo da alteração de momento, o que é dado por:

$\mathrm{\Sigma }F=\frac{d(mV)}{dt}$

Equacionamentos

O somatório de forças acima é facilmente aplicável na mecânica de partículas, mas para fluidos, ele se torna mais complexo devido ao volume de controle (e não partículas individuais). A variação do momento se comporá de duas partes, o momento no interior do volume de controle, e o impulso de atravessar a superfície. Este conceito pode ser escrito como:

$\mathrm{\Sigma }F=\frac{\partial }{\partial t}\underset{VC}{\int }\rho \mathbf{\text{V}}dV+\underset{SC}{\int }\mathbf{\text{V}}\rho \mathbf{\text{V}}\cdot \mathbf{\text{n}}dA$

Onde

• ΣF representa a soma de todas as forças (forças no corpo de superfície) aplicadas ao volume de controle.
• V é o vetor velocidade.
• n é a vetor normal unidade direcionado para o exterior.
• dV é o diferencial de volume.
• dA é o diferencial de área.

A atual derivação desta equação é omitida, porém pode ser obtida com facilidade devido ao uso do Teorema do Transporte de Reynolds.

Pode-se considerar o caso mais simples, para um fluido no qual somente o gradiente de pressão térmica ($\mathrm{\nabla }P$) seja responsável pelo movimento. Neste cenário, a equação do balanço de forças atuante é dado pela equação:

$\frac{dv}{dt}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }P=-\mathrm{\nabla }\frac{P}{\rho }-\frac{P}{{\rho }^2}\mathrm{\nabla }\rho$

Tornando a equação anterior discreta, tem-se:

$\frac{d{v}_a}{dt}=-\sum _{b=1}^N{m}_b\frac{P_b}{{\rho }_b^2}{\mathrm{\nabla }}_a{w}_{ab}=-\frac{P_a}{{\rho }_a^2}\sum _{b=1}^N{m}_b{\mathrm{\nabla }}_a{w}_{ab}$

Deve-se notar que na equação anterior há a implicação da conservação do momento.