Polinômios de Laguerre

Os polinômios de Laguerre são uma família de polinômios ortogonais em homenagem a Edmond Laguerre, e aparecem na análise de soluções para a equação diferencial

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

Desenvolvendo $y$ em série de potências, obtemos uma relação de recorrência entre coeficientes consecutivos,

$a_{k+1}=\frac{k-n}{(k+1{)}^2}{a}_k,k=0,1,2,...;y(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

Pode-se ver que quando n é natural o coeficiente da potência de grau maior e diferente de n se anula. Ou seja, uma solução linearmente independente é um polinômio de grau n (polinômio de Laguerre de ordem n, denotados por L_n(x)). Para encontrar a segunda solução linearmente independente, deve-se estudar as soluções da equação mais geral, que é $y^{″}(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=0$.

Definição

Um polinômio de Laguerre de ordem n é definido por

$L_n(x)=(1/(n!))e^x\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n{e}^{-x})$

Que, após o desenvolvimento, assume a forma:

$L_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{k!}{x}^k=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{(n-k)!k!k!}{x}^k$

Eis alguns desses polinômios:

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$(1/2)(x^2-4x+2)$
3	$(1/6)(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$(1/24)(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$(1/120)(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$(1/720)(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Os polinômios de Laguerre também podem ser definidos através da integral

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)t^{n+1}}dt$

Onde a integração é feita no sentido anti-horário sobre qualquer caminho fechado em torno da origem do plano complexo contido no disco | t | < 1.

Função geradora

A função geradora dos polinômios de Laguerre é dada por:

$\psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_n(x)}{n!}{t}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{t}^n|t|<1$

Trocando-se a ordem dos somatórios, fazendo a mudança m = n - k e reordenando os termos, temos que:

$\psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k{t}^k\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})t^m$

Sabendo-se que ${\sum }_{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})t^m={\left(\frac{1}{1-t}\right)}^{k+1}\mathrm{\forall }|t|<1$ e rearrumando os termos, temos a forma:

$\psi (x,t)=\frac{1}{1-t}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\left(\frac{-xt}{1-t}\right)}^k=\frac{1}{1-t}\exp \left(\frac{-xt}{1-t}\right)$

Relações de recorrência

A partir da função geradora, desprezando-se a potência e derivando em relação a t, pode-se chegar a uma relação de recorrência da seguinte forma:

$L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n^2{L}_{n-1}(x)$

Conhecidos os dois primeiros polinômios (ver tabela), pode-se usar esta fórmula para a obtenção do polinômio de grau n.

Ortogonalidade

Os polinômios de Laguerre são ortogonais mediante o produto escalar:

$⟨L_n|L_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{L}_n(x)L_m(x)e^{-x}dx=(n!{)}^2{\delta }_{nm}$

No entanto, podemos definir as funções:

${\phi }_n(x)=\frac{1}{n!}{L}_n(x)e^{-x/2}$

Que são claramente ortonormais em relação ao produto escalar ordinário:

$⟨{\phi }_n|{\phi }_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\phi }_n(x){\phi }_m(x)dx={\delta }_{nm}$

Ignorando da definição os polinômios de Laguerre e substituindo na equação da Laguerre, obtemos a equação diferencial cujas soluções são as funções acima:

$x{{\phi }_n}^{″}(x)+{{\phi }_n}^{\prime }(x)+(n+\frac{1}{2}-\frac{x}{2}){\phi }_n(x)=0$

Polinômios associados de Laguerre

Também chamados de polinômios de Laguerre generalizados, os polinômios associados são os que satisfazem a seguinte equação diferencial:

$x{y}^{″}(x)+(m+1-x)y^{\prime }(x)+(n-m)y(x)=0$

Definição

São definidos a partir das derivadas dos polinômios de Laguerre:

$L_n^m(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^m}{d{x}^m}{L}_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^m}{d{x}^m}(e^x\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n{e}^{-x}))m\le n$

Embora seja vantajosa a seguinte definição:

$L_n^m(x)=e^x\frac{x^{-m}}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(e^{-x}{x}^{n+m})$

Pode-se ver que, para m > n o polinômio associado correspondente é nulo. Também é óbvio que $L_n^0(x)=L_n(x)$.

Derivando-se a partir da definição, obtém-se:

$L_n^m(x)=\sum _{k=0}^{n-m}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+m})\frac{1}{k!}{x}^k=\sum _{k=0}^{n-m}(-1{)}^k\frac{n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!}{x}^k$

Função geradora e relações de recorrência

A função geradora é dada por:

${\psi }_m(x,t)=(1-t{)}^{m+1}\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{L}_n^m(x)t^n=\frac{1}{(1-t{)}^{m+1}}\exp \left(\frac{-xt}{1-t}\right)|t|<1$

De onde se deduz as relações de recorrência. Algumas delas são:

$L_n^m(x)=L_n^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)$

$\frac{d}{dx}{L}_n^m(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)$

$n{L}_n^m(x)=(n+m)L_{n-1}^m(x)-x{L}_{n-1}^{m+1}(x)$

$(n+1)L_{n+1}^m(x)=(2n+m+1-x)L_n^m(x)-(n+m)L_{n-1}^m(x)$

$x\frac{d}{dx}{L}_n^m(x)=n{L}_n^m(x)-(n+m)L_{n-1}^m(x)$

Ortogonalidade

Os polinômios asociados de Laguerre são ortogonais em relação à função peso $x^m{e}^{-x}$. O seguinte se aplica:

$⟨L_n^m|L_{n^{\prime }}^m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^m{L}_n^m(x)L_{n^{\prime }}^m(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}{n!}{\delta }_{n{n}^{\prime }}$

Outra relação importante é a seguinte:

$⟨L_n^m|L_{n^{\prime }}^m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{m+1}{L}_n^m(x)L_{n^{\prime }}^m(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}{n!}(2n+m+1){\delta }_{n{n}^{\prime }}$

Onde $\mathrm{\Gamma }(k)$ é a função Gama.

Tal como os polinômios Laguerre, as seguintes funções são ortonormais em relação à função peso 1:

${\phi }_{nm}(x)=\sqrt{\frac{n!}{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}}{e}^{-x/2}{x}^{m/2}{L}_n^m(x)$

São importantes na mecânica quântica outras funções que são ortonormais em relação à função peso $x^2$ (devido à forma que toma a integral de volume em coordenadas esféricas) que tem como solução a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Essas funções são:

$R_{nl}(\rho )=N{e}^{-\rho /2}{\rho }^l{L}_{n+l}^{2l+1}(\rho )$

Em geral, as funções da forma:

${\phi }_{nm\nu }(x)=e^{-x/2}{x}^{\nu }{L}_n^m(x)$

São ortogonais em relação à função $x^{m-2\nu }$ e são soluções da equação:

$x{\phi }_{n^{″}m\nu }(x)+(m+1-2\nu ){\phi }_{n^{\prime }m\nu }(x)+[n+\frac{m+1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{\nu (\nu -m)}{x}]{\phi }_{nm\nu }=0$

Relação com os polinômios de Hermite

Os polinômios de Laguerre estão relacionados com os polinômios de Hermite através de:

$L_n^{-1/2}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^{2n}n!}{H}_{2n}(\sqrt{x})$

$L_n^{1/2}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^{2n+1}n!}\frac{H_{2n+1}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Ver também

• Polinômios de Legendre
• Polinômios de Hermite
• Equação diferencial
• Átomo de hidrogênio

Referência

Predefinição:Tradução/ref Apuntes sobre polinomios de Laguerre de la Universidad de Chile