Tempo local (matemática)

Uma amostra de um trajeto de um processo Itō junto com sua superfície de tempos locais.

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível. O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka. Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Definição formal

Para um processo de difusão real $(B_s{)}_{s\ge 0}$, o tempo local de $B$ até o ponto $x$ é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

$L^x(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\delta (x-B_s)ds$,

onde $B_s$ é o processo de difusão e $\delta$ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A ideia básica é que $L^x(t)$ é uma medida (reescalonada) de quanto tempo $B_s$ dispendeu em $x$ até o momento $t$. Pode ser escrito como:

$L^x(t)=\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{1}{2\epsilon }\underset{0}{\overset{t}{\int }}{1}_{\{x-\epsilon <B_s<x+\epsilon \}}ds$,

que explica porque é chamado de tempo local de $B$ em $x$. Para um processo de espaço de estado discreto $(X_s{)}_{s\ge 0}$, o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:

$L^x(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{1}_{\{x\}}(X_s)ds$.

Fórmula de Tanaka

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário $(X_s{)}_{s\ge 0}$ em $ℝ$:

$L^x(t)=|X_t-x|-|X_0-x|-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(1_{(0,\mathrm{\infty })}(X_s-x)-1_{(-\mathrm{\infty },0]}(X_s-x))d{X}_s,t\ge 0$.

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer e Wang; a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se$F:ℝ\to ℝ$ é absolutamente contínuo com a derivada $F^{\prime }$, que é de variação limitada, então:

$F(X_t)=F(X_0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}F{\text{'}}_{-}(X_s)d{X}_s+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{L}^x(t)d{F}^{\prime }(x)$,

onde $F{\text{'}}_{-}$ é a derivada esquerda.

Se $X$ é um movimento browniano, então para qualquer $\alpha \in (0,1/2)$ o campo de tempos locais $L=(L^x(t){)}_{x\in ℝ,t\ge 0}$ tem uma modificação que é Hölder contínua em $x$com expoente $\alpha$, uniformemente para $x$ e $t$. Em geral, $L$ tem uma modificação que é contínua em $t$ e càdlàg em $x$.

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, $(|B_s|{)}_{s\ge 0}$.

Teoremas Ray–Knight

O campo de tempos locais $L_t=(L_t^x{)}_{x\in E}$ associado a um processo estocástico no espaço $E$ é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo $L_t$ com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo $L_t$ em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight

Seja $(B_t{)}_{t\ge 0}$ um movimento browniano unidimensional $B_0=a>0$, e $(W_t{)}_{t\ge 0}$ um movimento browniano bidimensional padrão $W_0=0\in R^2$. Para definir o tempo de parada em que $B$ primeiro atinge a origem, $T=\inf \{t\ge 0:B_t=0\}$, Ray e Knight (independentemente) mostraram que,

$\mathbf{(}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}\{L^x(T):x\in [0,a]\}\stackrel{𝒟}{=}\{|W_x{|}^2:x\in [0,a]\}$

onde $(L_t{)}_{t\ge 0}$ é o campo dos tempos locais de $(B_t{)}_{t\ge 0}$, e a igualdade está na distribuição $C[0,a]$. O processo $|W_x{|}^2$ é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight

Seja $(B_t{)}_{t\ge 0}$ um movimento browniano unidimensional padrão $B_0=0\in R$, e seja $(L_t{)}_{t\ge 0}$ um campo associado dos tempos locais. Seja $T_a$ a primeira vez em que o tempo local em zero excede $a>0$

$T_a=\inf \{t\ge 0:L_t^0>a\}.$

Seja $(W_t{)}_{t\ge 0}$ um movimento browniano unidimensional independente $W_0=0$, então

$\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}\{L_{T_a}^x+W_x^2:x\ge 0\}\stackrel{𝒟}{=}\{(W_x+\sqrt{a}{)}^2:x\ge 0\}.$

Equivalentemente, o processo $(L_{T_a}^x{)}_{x\ge 0}$ (que é um processo na variável espacial $x$) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Veja também

• Fórmula de Tanaka
• Movimento browniano
• Ruído vermelho, também conhecido como ruído marrom (Martin Gardner propôs este nome para som gerado com intervalos aleatórios. É um trocadilho sobre o movimento browniano e ruído branco.)
• Equação de difusão

Bibliografia

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
• P.Mortars and Y.Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.