Momento (estatística)

Em estatística, a expressão genérica de esperança, o $n$-ésimo momento ou momento de ordem n de uma variável aleatória $X$ é dado por:

$E\left[X^n\right],$

onde o símbolo $E$ indica a operação de valor esperado ou esperança.

Os momentos são muito importantes em estatística para caracterizar distribuições de probabilidade. Por exemplo, a distribuição normal é caracterizada apenas pelo primeiro e pelo segundo momentos. Os primeiro, segundo, terceiro e quarto momentos caracterizam a tendência central, dispersão, assimetria e curtose, respectivamente, de uma distribuição de probabilidades.

Os momentos mais importantes são os quatro primeiros, que são muito utilizados para caracterizar funções densidade de probabilidade. Entretanto, é quase sempre possível calcular momentos de alta ordem.

Definição formal

Momento

As seguintes definições são equivalentes:

• Para cada número inteiro $n$, o $n$-ésimo momento de uma variável aleatória $X$ é definido como

$E\left[X^n\right].$

• O n-ésimo momento da variável aleatória $X$, cuja função densidade é dada por $f$, é definido por:

$\mu {\text{'}}_n=E\left[X^n\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}f(x)dx.$

Momento Central

• Para cada número inteiro $n$, o $n$-ésimo momento central de uma variável aleatória $X$ é definido como

${\mu }_n=E[(X-E[X]{)}^n].$

Cálculo de momentos

Por ser um cálculo de valor esperado (esperança), o cálculo dos momentos varia ligeiramente dependendo de a variável aleatória ser do tipo discreta ou contínua. Isso porque a esperança, no caso de variáveis aleatórias discretas, é calculado por uma soma ponderada das possíveis ocorrências. No caso de variáveis aleatórias contínuas, a esperança é calculada por uma integral (que nada mais é que uma soma infinita). A ideia, porém, é a mesma.

Valor de n	Tipo de variável	Substituindo o valor de $n$ na equação de definição de momento, temos	Substituindo o valor de $n$ na equação de definição de momento central, temos
1º momento ($n=1$)	Contínua	${\mu }_1^{\text{'}}=E\left(x^1\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_x(x)x^{1}dx$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X	${\mu }_1=E[(X-E(X){)}^1]=E(X)-E(X)=0$. Ou seja, o primeiro momento central é sempre igual a zero.
	Discreta	${\mu }_1^{\text{'}}=E\left(x^1\right)=\sum _x^{}[f_x(x)x^1]$, ou seja, o primeiro momento é a média da variável X
2º momento ($n=2$)	Contínua	${\mu }_2^{\text{'}}=E\left(x^2\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_x(x)x^{2}dx$	${\mu }_2=E[(X-E(X){)}^2]=Var\left(X\right)$. Ou seja, o segundo momento central de uma variável aleatória é sua variância.
	Discreta	${\mu }_2^{\text{'}}=E\left(x^2\right)=\sum _x^{}[f_x(x)x^2]$.

Momento conjunto

Seja o vetor $X=[X_1{X}_2{X}_3\cdots X_N]$. O k-ésimo momento conjunto de X é

$E[X_1^{k_1}*X_2^{k_2}*X_3^{k_3}*X_4^{k_4}...*X_N^{k_n}]$,

sendo que:

$\sum _{i=1}^n{k}_i=k.$

Ver também

• Média
• Variância
• Curtose
• Função densidade de probabilidade

Ligações externas

• Momento