Lema do bombeamento para linguagens livres de contexto

O lema do bombeamento para linguagens livres de contexto, também conhecido como o lema de Bar-Hillel, é um lema que dá uma propriedade compartilhada por todas as linguagens livres de contexto.

Enunciado formal

Se uma linguagem L é livre de contexto, então existe algum inteiro p ≥ 1 tal que qualquer sequência de caracteres s em L com |s| ≥ p (onde p é o comprimento do bombeamento) pode ser escrita como

s = uvxyz

com sub cadeias u, v, x, y e z, tal que |vxy| ≤ p, |vy| ≥ 1, e

uv ⁿxy ⁿz está em L para todo inteiro n ≥ 0.

Expressão formal

O lema do bombeamento para linguagens livres de contexto (chamado apenas "lema do bombeamento" de agora em diante) descreve uma propriedade que todas as linguagens livres de contexto garantidamente possuem.

A propriedade é uma propriedade de todas as cadeias na linguagem que são de comprimento pelo menos p, onde p é uma constante chamada comprimento do bombeamento -- que varia entre as linguagens livres de contexto.

Seja s uma cadeia de comprimento pelo menos p que está na linguagem.

O lema do bombeamento diz que s pode ser dividida em cinco sub cadeias, $s=uvxyz$, onde vy não é vazia e o comprimento de vxy é no máximo p, tal que repetindo v e y qualquer (e o mesmo) número de vezes em s produz uma cadeia que ainda está na linguagem (é possível e frequentemente útil repetir zero vezes, o que remove v e y da cadeia). Este processo de "bombear para cima" cópias adicionais de v e y é o que dá nome ao lema do bombeamento.

Observe que linguagens finitas (que são regulares e portanto livres de contexto) obedecem ao lema do bombeamento trivialmente por ter p igual ao comprimento da maior cadeia em L mais um. Como não existem cadeias desse comprimento o lema do bombeamento não é violado.

O lema do bombeamento é frequentemente usado para provar que uma determinada linguagem não é livre de contexto, mostrando que para todo p podemos encontrar alguma cadeia s de comprimento pelo menos p na linguagem que não possua as propriedades citadas acima, ou seja, que não possa ser "bombeada" sem produzir algumas cadeias que não estão na linguagem.

Uso do lema

O lema do bombeamento para linguagens livres de contexto pode ser usado para mostrar que certas linguagens não são livres de contexto.

Por exemplo, podemos mostrar que a linguagem $L=\{a^i{b}^i{c}^i|i>0\}$ não é livre de contexto usando o lema do bombeamento em uma prova por contradição. Primeiro, suponha que $L$ é livre de contexto. Pelo lema do bombeamento, existe um inteiro $p$ que é o comprimento de bombeamento da linguagem $L$. Considere a cadeia $s=a^p{b}^p{c}^p$ em $L$. O lema do bombeamento nos diz que $s$ pode ser escrita na forma $s=uvxyz$, onde $u,v,x,y$, e $z$ são subcadeias, tal que $|vxy|\le p$, $|vy|\ge 1$, e $u{v}^{i}x{y}^{i}z$ está em $L$ para todo inteiro $i\ge 0$. Pela nossa escolha de $s$ e o fato de que $|vxy|\le p$, é facilmente visto que a subcadeia $vxy$ não pode conter mais de duas letras distintas. Ou seja, temos uma das cinco possibilidades para $vxy$:

1. $vxy=a^j$ para algum $j\le p$.
2. $vxy=a^j{b}^k$ para algum $j$ e $k$ com $j+k\le p$.
3. $vxy=b^j$ para algum $j\le p$.
4. $vxy=b^j{c}^k$ para algum $j$ e $k$ com $j+k\le p$.
5. $vxy=c^j$ para algum $j\le p$.

Para cada caso, é fácil verificar que $u{v}^{i}x{y}^{i}z$ não contém quantidades iguais de cada letra para qualquer $i\ne 1$. Assim, $u{v}^{2}x{y}^{2}z$ não tem a forma $a^i{b}^i{c}^i$. Isto contradiz a definição de $L$. Portanto, nossa hipótese inicial de que $L$ é livre de contexto deve ser falsa.

Enquanto o lema do bombeamento é muitas vezes uma ferramenta útil para provar que uma determinada linguagem não é livre de contexto, o mesmo não dá uma caracterização completa das linguagens livres de contexto. Se uma linguagem não satisfaz a condição dada pelo lema do bombeamento, temos estabelecido que ela não é livre de contexto. Por outro lado, há linguagens que não são livres de contexto, mas ainda satisfazem a condição dada pelo lema do bombeamento. Existem técnicas de provas mais poderosas disponíveis, tais como o lema de Ogden, mas estas técnicas também não dão uma caracterização completa das linguagens livres de contexto.

Ver também

• Lema do bombeamento para linguagens regulares
• Linguagens formais

Referências

• Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:Citar livro Section 1.4: Nonregular Languages, pp. 77–83. Section 2.3: Non-context-free Languages, pp. 115–119.