Mínimos quadrados generalizados

Nota: não confunda com o método dos momentos generalizado (GMM).

Em Econometria, o método dos mínimos quadrados generalizados (GLS, na sigla em inglês) é uma técnica para estimar parâmetros desconhecidos num modelo de regressão linear. O método GLS é aplicado quando a variância dos erros não é a mesma (heteroscedasticidade), ou quando há certa correlação entre os resíduos. Nestes casos, o método dos mínimos quadrados ordinários pode ser estatisticamente ineficiente ou mesmo viesado. O GLS foi inicialmente descrito por Alexander Aitken em 1934.

Hipóteses do modelo

Seja o modelo na forma matricial

$Y=X\beta +\epsilon$

Assumimos que

$E[\epsilon |X]=0$

$E[\epsilon {\epsilon }^T|X]={\sigma }^2\mathrm{\Omega }$, onde $\mathrm{\Omega }$ é uma matriz positiva definida. No caso especial em que temos mínimos quadrados ordinários, $\mathrm{\Omega }=I$, a matriz identidade.

Esta última hipótese é bem genérica, ou seja, inclui muitos casos. Por exemplo, no caso de heteroscedasticidade, teremos

${\sigma }^2\mathrm{\Omega }={\sigma }^2\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{11}^2& 0& \cdots & 0\\ 0& {\sigma }_{22}^2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\sigma }_{nn}^2\end{array}\right]$

Se tivermos, por outro lado, autocorrelação, mas não heteroscedasticidade, teremos:

${\sigma }^2\mathrm{\Omega }={\sigma }^2\left[\begin{array}{cccc}1& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ a_1& 1& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & 1\end{array}\right]$

Variância do estimador

A variância do estimador ${\hat{\beta }}^{GLS}$ é dada por

$Var\left({\hat{\beta }}^{GLS}\right)={\left[X^{T}X\right]}^{-1}{X}^T$${\sigma }^2\mathrm{\Omega }X{\left[X^{T}X\right]}^{-1}$

Ver também

• Mínimos quadrados ordinários

Ligações externas

• Predefinição:Link

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