Teorema de Laplace

Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior.

Enunciado do teorema

O determinante de uma matriz $A\in M_{n\times n}(𝕂)$ é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento $a_{i,j}$ de uma matriz é o escalar $C_{i,j}$ definido por $$C_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij}),$$em que $A_{ij}$ representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Tem-se então que$$\det (A)=a_{i,1}{C}_{i,1}+a_{i,2}{C}_{i,2}+...+a_{i,n}{C}_{i,n}$$ou$$\det (A)=a_{1,j}{C}_{1,j}+a_{2,j}{C}_{2,j}+...+a_{n,j}{C}_{n,j}$$conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

Aplicação

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Ele também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, embora neste caso o cálculo do determinante seja usualmente mais simples, como o uso da regra de Sarrus para matrizes de ordem 3, por exemplo. Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante de uma matriz de ordem $n$ para o cálculo de $n$ determinantes de matrizes de ordem $n-1$. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode-se selecionar indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher a linha (ou coluna) que apresente mais zeros, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha (ou coluna) pelo seu cofator. Assim, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo a necessidade de se calcular o cofator.

Exemplo

Considere-se a matriz$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right].$$O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:$$\det B=1\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|=1(-3)-2(-6)+3(-3)=0.$$O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:$$\det B=-2\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|-8\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|=-2(-6)+5(-12)-8(-6)=0.$$

Demonstração do Teorema

Vamos usar o princípio da indução finita , provando, inicialmente, que o teorema é válido para matrizes de ordem $2$. Considerando $$M=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$ e efetuando o desenvolvimento pela 1ª linha:

$$a_{11}{C}_{1,1}+a_{12}{C}_{1,2}=a_{11}|a_{22}|+a_{12}(-1)|a_{21}|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}=\det M.$$

De forma análoga, os desenvolvimentos pela 2ª linha, 1ª coluna e 2ª coluna resultam em $\det M$, de modo que a propriedade é válida para $n=2$.

Na sequência, admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem $(n-1)$ e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem $n$. Seja $M$ uma matriz de ordem $n>2$. Os primeiros menores (menores complementares) de $M$ são determinantes de ordem $(n-1)$, os quais vamos denotar por $D_{ij}$, sendo $i$ a linha e $j$ a coluna eliminadas da matriz $M$. Vamos usar o símbolo $D_{ij}^{kl}$ para representar o menor que se obtém pela supressão das linhas $i$ e $k$ e das colunas $j$ e $l$ da matriz $M$. Assim, $D_{ij}^{kl}$ é um determinante de ordem $(n-2)$.

Fixamos a coluna $k$ da matriz $M(1<k\le n)$ e determinamos

$$C:=a_{1k}{C}_{1,k}+a_{2k}{C}_{2,k}+a_{3k}{C}_{3,k}+...+a_{nk}{C}_{n,k}=a_{1k}(-1{)}^{1+k}{D}_{1k}+a_{2k}(-1{)}^{2+k}{D}_{2k}+a_{3k}(-1{)}^{3+k}{D}_{3k}+...+a_{nk}(-1{)}^{n+k}{D}_{nk}.$$

Desenvolvendo os determinantes $D_{1k},D_{2k},...,D_{nk}$ pela 1ª coluna, temos:

$$C=a_{1k}(-1{)}^{1+k}(\sum _{i>1}^{}{a}_{i1}(-1{)}^i{D}_{1k}^{i1})+a_{2k}(-1{)}^{2+k}(a_{11}{D}_{2k}^{11}+\sum _{i>2}^{}{a}_{i1}(-1{)}^i{D}_{2k}^{i1})+a_{3k}(-1{)}^{3+k}(a_{11}{D}_{3k}^{11}-a_{21}{D}_{3k}^{2i}+\sum _{i>3}^{}{a}_{i1}(-1{)}^i{D}_{3k}^{i1})+...+a_{nk}(-1{)}^{n+k}(a_{11}{D}_{nk}^{11}-a_{21}{D}_{nk}^{21}+a_{31}{D}_{nk}^{31}-...\pm a_{n-1^{,}1}{D}_{nk}^{n-1,1}).$$

Na expressão de $C$, acima, tomamos as parcelas que contém $a_{11}$:

$$a_{11}(a_{2k}(-1{)}^{2+k}{D}_{2k}^{11}+a_{3k}(-1{)}^{3+k}{D}_{3k}^{11}+...+a_{nk}(-1{)}^{n+k}{D}_{nk}^{11})=a_{11}(a_{2k}(-1{)}^k{D}_{2k}^{11}-a_{3k}(-1{)}^{k+1}{D}_{3k}^{11}-...-a_{nk}(-1{)}^{n+k-2}{D}_{nk}^{11})=a_{11}{D}_{11},$$

as parcelas que contém $a_{21}$:

$$a_{21}(a_{1k}(-1{)}^{1+k}{D}_{1k}^{21}-a_{3k}(-1{)}^{3+k}{D}_{3k}^{21}-...-a_{nk}(-1{)}^{n+k}{D}_{nk}^{21})=a_{21}(-a_{1k}(-1{)}^k{D}_{1k}^{21}-a_{3k}(-1{)}^{1+k}{D}_{3k}^{21}-...-a_{nk}(-1{)}^{n+k-2}{D}_{nk}^{21})=-a_{21}{D}_{21},$$

as parcelas que contém $a_{31}$:$$a_{31}(-a_{1k}(-1{)}^{1+k}{D}_{1k}^{31}-a_{2k}(-1{)}^{2+k}{D}_{2k}^{31}+a_{4k}(-1{)}^{4+k}{D}_{4k}^{31}+...+a_{nk}(-1{)}^{n+k}{D}_{nk}^{31})=a_{31}(a_{1k}(-1{)}^k{D}_{1k}^{31}+a_{2k}(-1{)}^{1+k}{D}_{2k}^{31}+a_{4k}(-1{)}^{k+2}{D}_{4k}^{31}+...+a_{nk}(-1{)}^{n+k-2}{D}_{nk}^{31})=a_{31}{D}_{31},$$simplificadas com o uso da hipótese de indução. Prosseguimos da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm $a_{n1}$, de modo que:

$$C=a_{11}{D}_{11}-a_{21}{D}_{21}+a_{31}{D}_{31}-...\pm a_{n1}{D}_{n1}=a_{11}{C}_{1,1}+a_{21}{C}_{2,1}+a_{31}{C}_{3,1}+...+a_{n1}{C}_{n,1}.$$

Isso prova que $C=\det M$, isto é, o resultado vale para qualquer coluna $k$, $1<k\le n$. Com raciocínio análogo podemos provar que a propriedade é válida para qualquer linha $i(1<i\le n)$ e com raciocínios semelhantes podemos provar que ela é válida para a 1ª linha e para a 1ª coluna, concluindo que o teorema é válido para matrizes de ordem $n\ge 2$.

Complexidade assintótica

O teorema de Laplace não é computacionalmente eficiente para calcular determinantes. Sua complexidade no tempo é de $O(n!)$, não sendo indicado para situações práticas.

Utilizando a triangularização de matrizes, é possível escrever um algoritmo capaz de calcular determinantes em tempo $O(n^3)$, que é mais eficiente. O algoritmo é similar ao método de Eliminação de Gauss.

Bibliografia

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• Teorema de Laplace em C