Teorema de Vinogradov

Em Teoria dos números, o teorema de Vinogradov mostra que qualquer número impar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. É um teorema mais fraco que a conjectura fraca de Goldbach, segundo a qual diz que, está representação vale para todo impar maior que cinco. Foi nomeado após Ivan Vinogradov fazer sua demostração nos anos 30. O resultado do teorema proporciona limites assintóticos no números de representações de um número impar como uma soma de três primos.

Enunciado do Teorema de Vinogradov

Dado A um número real positivo. Então

$r(N)=\frac{1}{2}G(N)N^2+O\left(N^2{\log }^{-A}N\right),$

onde

$r(N)=\sum _{k_1+k_2+k_3=N}\mathrm{\Lambda }(k_1)\mathrm{\Lambda }(k_2)\mathrm{\Lambda }(k_3)$,

usando a função de Mangoldt $\mathrm{\Lambda }$, e

$G(N)=\left(\prod _{p\mid N}(1-\frac{1}{{(p-1)}^2})\right)\left(\prod _{p\nmid N}(1+\frac{1}{{(p-1)}^3})\right).$

Uma consequência

Se N é impar, então G(N) é aproximadamente 1, por tanto $N^2=O(r(N))$ para todo N suficientemente grande. Fica a mostrar que a contribuição das potências próprias de primos para r(N) é $O\left(N^{\frac{3}{2}}{\log }^{2}N\right)$, se pode ver que :$N^2{\log }^{-3}N=O\left(\text{k}\right)$, onde k é o número de formas em que N pode ser expressado como soma de três primos. Isto significa em particular que qualquer impar suficientemente grande pode ser expresso como uma soma de três primos, logo prova a conjectura fraca de Goldbach, exceto para número finito de casos.

Curiosidades

Embora Vinográdov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borozdkin demonstrou que ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{16,038}}\approx 3^{3^{15}}$ é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número têm 4.008.660 de dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual. Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente $n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$. O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. ( Pesquisas por computador têm apenas alcançado $10^{18}$ para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca).

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro Chapter 8.

Ligações externas

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