Esquema FTCS

Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.

O método

No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo $u_t$ por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço $u_{xx}$, por uma diferença finita centrada:

$u_t=\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_n)\approx \frac{u(x_i,t_n+\mathrm{\Delta }t)-u(x_i,t_n)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t},$

$u_{xx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,t_n)\approx \frac{u(x_i-\mathrm{\Delta }x,t_n)-2u(x_i,t_n)+u(x_i+\mathrm{\Delta }x,t_n)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}=\frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2},$

podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

obtendo assim o método FTCS:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\alpha \frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

ou

$u_i^{n+1}=u_i^n+\alpha \frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),$

ou ainda:

$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),$

para i e n finitos, onde r é dado por $r=\alpha \frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}.$

Estabilidade

O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

$r=\frac{\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\le \frac{1}{2}.$

Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher $\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }t$ independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher $\mathrm{\Delta }x$ relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que $\mathrm{\Delta }t$ será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.