Princípio mínimo de Pontryagin

Princípio mínimo de Pontryagin (ou máximo) é utilizado na teoria controle otimizadoPredefinição:Nota de rodapé para encontrar o melhor controle possível para a tomada de sistemas dinâmicosPredefinição:Nota de rodapé de um estado para outro, especialmente na presença de restrições para os controles de estado ou de entrada. O princípio foi formulada pelo matemático russo Lev Semenovich Pontryagin e seus alunos. Ele tem como um caso especial da equação do cálculo das variações de Euler-LagrangePredefinição:Nota de rodapé. O princípio afirma, informalmente, que o HamiltonianoPredefinição:Nota de rodapé deve ser minimizado sobre $𝒰$, o conjunto de todos os controles permitidos. Se $u^{*}\in 𝒰$ é o controle ideal para o problema, então o princípio afirma que:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t),t)\le H(x^{*}(t),u,{\lambda }^{*}(t),t),\mathrm{\forall }u\in 𝒰,t\in [t_0,t_f]$

onde $x^{*}\in C^1[t_0,t_f]$ é o estado ideal de trajetória e ${\lambda }^{*}\in BV[t_0,t_f]$ é o coestadoPredefinição:Nota de rodapé ideal de trajetória. O resultado foi aplicado com sucesso em problemas de tempo mínimo onde o controle de entrada é restringido, mas pode também ser útil no estudo de problemas estado limitado. Condições especiais para o Hamiltoniano também podem ser derivadas. Quando o tempo final $t_f$ é fixo e o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo $(\frac{\partial H}{\partial t}\equiv 0)$, então:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t))\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

e se o tempo final é livre, então:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t))\equiv 0.$

Quando satisfeito ao longo de uma trajetória, o princípio mínimo de Pontryagin é uma condição necessária para um ótimo. A equação HJBPredefinição:Nota de rodapé fornece condições suficientes para um ótimo, mas essa condição deve ser satisfeita sobre a totalidade do estado do espaço.

Maximização e minimização

O princípio foi inicialmente conhecido como princípio máximo de Pontryagin e sua prova é historicamente baseado na maximização do Hamiltoniano. A aplicação inicial desse princípio foi para a maximização da velocidade terminal de um foguete. Contudo, como foi subsequentemente utilizado principalmente para minimização do índice de desempenho foi então referido como o princípio mínimo. O livro Pontryagin resolveu o problema de minimizar um índice de desempenho.

Anotação

No que segue estaremos fazendo uso da anotação abaixo.

${\mathrm{\Psi }}_T(x(T))=\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x)}{\partial T}{|}_{x=x(T)}$

${\mathrm{\Psi }}_x(x(T))=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial \mathrm{\Psi }(x)}{\partial x_1}{|}_{x=x(T)}& \cdots & \frac{\partial \mathrm{\Psi }(x)}{\partial x_n}{|}_{x=x(T)}\end{array}\right]$

$H_x(x^{*},u^{*},{\lambda }^{*},t)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial H}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda ={\lambda }^{*}}& \cdots & \frac{\partial H}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda ={\lambda }^{*}}\end{array}\right]$

$L_x(x^{*},u^{*})=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial L}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \cdots & \frac{\partial L}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{array}\right]$

$f_x(x^{*},u^{*})=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{array}\right]$

Ver também

• Multiplicadores de Lagrange
• Método do gradiente conjugado
• Sistema hamiltoniano
• Equação de Hamilton–Jacobi