Cardinais regulares e singulares

Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular.

Definições e exemplos

Se abreviarmos cofinalidade de $x$ como $\text{cf}(x)$, podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que $\alpha$ é regular se $\text{cf}(\alpha )=\alpha$ e singular se $\text{cf}(\alpha )<\alpha$, pois $\text{cf}(\alpha )$ ≤ $\alpha$ vale para todo ordinal. De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal $\kappa$ é singular se resulta da união de uma quantidade menor que $\kappa$ de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que $\kappa$:

$\kappa =\bigcup _{\alpha <\beta }(A_{\alpha })\text{ tais que }\beta <\kappa \text{ e }\left|A_{\alpha }\right|<\kappa \text{ para cada }\alpha <\beta$

Por exemplo, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ é singular pois:

${\mathrm{\aleph }}_{\omega }=\bigcup _{n<\omega }{\mathrm{\aleph }}_n={\mathrm{\aleph }}_0\cup {\mathrm{\aleph }}_1\cup \dots \cup {\mathrm{\aleph }}_n\cup \dots$

ou seja, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ é a união de $\omega ={\mathrm{\aleph }}_0$ conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$.

Por outro lado, $\omega$ é regular, pois $\text{cf}(\omega )=\omega$. Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.

Cardinais regulares e o axioma da escolha

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e portanto ${\mathrm{\aleph }}_1$ é regular. Sem o axioma da escolha, $\text{cf}({\mathrm{\aleph }}_1)=\omega$ (que implica que ${\mathrm{\aleph }}_1$ é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ (denominado cardinal sucessor) é regular. Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ temos que $\alpha =\text{0}$ ou $\alpha$ é um ordinal limite. Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de $\omega$, se ZFC é consistente.

Bibliografia

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