Cofinalidade

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) . Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, B⊆A, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada a∈A existe um b∈B tal que a≤b. O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908.

Cofinalidade de ordinais

Seja $\alpha >0$ um ordinal limite. Uma sequência crescente $⟨{\alpha }_{\xi }:\xi <\beta ⟩$, com $\beta$ ordinal limite é dita cofinal com $\alpha$ se ${\text{lim}}_{\xi \to \beta }{\alpha }_{\xi }=\alpha$.

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite $\alpha >0$ como um ordinal limite $\beta$:

$𝑐𝑓\left(\alpha \right)=\text{o menor ordinal limite }\beta \text{ tal que existe uma }\beta \text{-sequência }⟨{\alpha }_{\xi }:\xi <\beta ⟩{\text{ com lim}}_{\xi \to \beta }{\alpha }_{\xi }=\alpha$.

Exemplos

O conjunto dos números naturais, $\mathbb{N}$ é cofinal com o conjunto dos números reais, $ℝ$, com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real $x\in ℝ$, existe um número natural $n\in \mathbb{N}$, tal que $x\le n$. Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, $\mathbb{Q}$, também é cofinal com $ℝ$ e todos esses conjuntos tem cofinalidade $\omega$.

O ordinal $\omega +\omega$ tem cofinalidade $\omega$, cf($\omega +\omega$)=$\omega$, pois segundo a definição geral, $\omega$ é cofinal com $\omega +\omega$ e ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$. Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a $\omega \text{-sequência}$

$⟨\omega +n:n<\omega ⟩{\text{ com lim}}_{n\to \omega }(\omega +n)=\omega +\omega$

De maneira análoga, $\text{cf}\left({\mathrm{\aleph }}_{\omega }\right)=\omega$, pois

${\text{lim}}_{n\to \omega }({\mathrm{\aleph }}_n)={\mathrm{\aleph }}_{\omega }$

Propriedades

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

$\text{cf}(\text{cf}(\alpha ){)}_{}=\text{cf}(\alpha )$

$\text{cf}(\alpha {)}_{}\text{ é um}$ ${\text{cardinal regular}}_{}$$\text{, para todo ordinal limite }{\alpha }_{}$

$\text{Se }{\kappa }_{}\text{ é um cardinal infinito, então }\kappa <{\kappa }^{\text{cf}(\kappa {)}_{}}$

Deste último obtemos:

$\text{cf}\left(2^{\omega }\right)>\omega$

Bibliografia

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