Catenoide

Uma bolha de sabão: dentre os sólidos de mesmo volume, a esfera é a que possui menor área superficial.

Uma catenoide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz.

Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas.

Entre todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a menor área superficial possível. Não obstante, as bolhas de sabão são esféricas. De forma semelhante, a catenoide constitui solução para o problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de contorno, restrição agora imposta às bordas, e não ao volume, do objeto geométrico associado.

Descrição matemática

A catenoide é um problema típico atrelado ao cálculo das variações, área da matemática que busca determinar as funções que extremizam um dado funcional. O cálculo das variações tem aplicações importantes em Física, onde formalismos como a mecânica lagrangiana ou a mecânica hamiltoniana, formalismos em termos físicos alternativos e em tudo equivalentes ao da mecânica newtoniana, implicam ou decorrem do princípio de Hamilton, o qual extremiza uma grandeza física denominada ação.

A apresentação do ferramental matemático necessário às formulações hamiltoniana e lagrangiana da mecânica em tratados sobre o assunto implicam a apresentação quase obrigatória, não apenas nos livros de cálculo mas também nos livros de Física, de problemas clássicos de extremização, a exemplos o de se determinar a menor curva contida em uma dada superfície conectando dois pontos especificados - cujas soluções definem as geodésicas da superfície, e que dá por solução uma reta quando a superfície em questão é plana, e um círculo máximo quando a superfície é esférica; o de se determinar a curva pela qual um objeto, quando abandonado em repouso em um ponto A mais alto que B, A e B não necessariamente alinhados verticalmente, escorrega sob a ação da gravidade até atingir o ponto B, fazendo-o contudo no menor tempo possível, problema conhecido como problema da braquistócrona e que tem por solução uma ciclóide; e por fim o problema da superfície de revolução passando por dois pontos especificados e que define a menor área, problema que tem por resultado a catenoide procurada. A catenária é a solução para o problema de se determinar a forma de uma corda ou cabo flexível com extremidades fixas quando sob a ação da gravidade; os fios da rede elétrica e os varais de roupa determinam curvas catenárias.

Adentrando as considerações matemáticas atreladas ao cálculo das variações e ao problema em mãos, para funcionais que possam ser escritos na forma:

$J_{(y_{(x)},{\dot{y}}_{(x)})}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{f}_{(y_{(x)},{\dot{y}}_{(x)},x)}dx$

onde o ponto sobre uma variável designa a derivada em relação ao parâmetro x, $(\dot{y}=\frac{dy}{dx})$, e onde x₁ e x₂ juntamente com suas respectivas ordenadas Y_(x1) e Y_(x2) associam-se a pontos fixos, o cálculo das variações dá por resultado que, para J ser um extremo, a função ${\displaystyle }$ no integrando deve satisfazer à equação de Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Em física, se a função $f_{(y,\dot{y},x)}$ for a lagrangiana do sistema e o parâmetro x corresponder ao tempo t, extremizar J implica extremizar a ação, conforme o princípio de Hamilton.

No problema da catenoide quer-se extremizar a área A da superfície de revolução gerada pela curva y_(x) que passa por dois pontos dados Y_(x1) e Y_(x2), de forma que J corresponde, nesse caso, à área A da superfície.

Uma catenoide construída com película de sabão. A catenária associada tem equação: $x=a.cosh\left(\frac{y-b}{a}\right)$, com "a" e "b" constantes adequadamente escolhidas. A catenária deve ser volvida ao redor do eixo Y a fim de se obter o catenoide. O catenoide representa a superfície com menor área que satisfaz às condições de contorno - na figura as armações de fio, em azul - inerentes à situação.

$A_{(y_{(x)},{\dot{y}}_{(x)})}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{f}_{(y_{(x)},{\dot{y}}_{(x)},x)}dx$

A fim de se determinar o integrando $f_{(y,\dot{y},x)}$, observa-se inicialmente que curva y_(x) determina, para cada ponto de abscissa x, um diferencial de caminho $\overrightarrow{ds}$ tal que, em notação de pontos cartesianos:

$\overrightarrow{ds}=(dx,dy)=(dx,\dot{y}dx)$.

de onde ds, o módulo de $\overrightarrow{ds}$, vale:

$ds=\sqrt{{dx}^2+{dy}^2}=dx.\sqrt{1+{\dot{y}}^2}$

A área gerada pela revolução desse diferencial de caminho em torno do eixo coordenado Y, ou seja, o diferencial de área dA a ele associado, é por tal a área da superfície de um anel com raio x, perímetro $P=2\pi x$ e espessura $ds=dx.\sqrt{1+{\dot{y}}^2}$:

$dA=2\pi xds=2\pi x\left(\sqrt{1+{\dot{y}}^2}\right)dx$

de onde:

$A_{(y,\dot{y})}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}d{A}_{(y,\dot{y},x)}=2\pi \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}x\left(\sqrt{1+{\dot{y}}^2}\right)dx$.

A função $f_{(y,\dot{y},x)}$ associada ao problema é pois:

$f_{(y,\dot{y},x)}=x\left(\sqrt{1+{\dot{y}}^2}\right)$

A função y deve ser tal que f satisfaça então a equação de Euler-Lagrange. Determinado-se as derivadas nela contidas, tem-se respectivamente:

$\frac{\partial f}{\partial y}=0$

$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}$

o que, inspecionando a forma da equação, implica, para a veracidade da mesma,

$\frac{d}{dx}\left[\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}\right]=0$

ou seja,

$\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}=\text{constante}=a$.

Cordas em suspensão determinando catenárias.

Isolando-se $\dot{y}$ e integrando tem-se que:

$\dot{y}=\frac{a}{\sqrt{x^2-a^2}}$

$y=\int \frac{a.dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$

que, consultando-se uma tabela de integrais — em particular uma lista de integrais de funções irracionais — implica uma equação em arco cosseno hiperbólico para a curva a ser volvida.

$y_{(x)}=a.arccosh\left(\frac{x}{a}\right)+b$

onde a e b são constantes de integração.

Isolando-se x tem-se, como afirmado na definição de catenoide, a equação de uma catenária:

$x=a.cosh\left(\frac{y-b}{a}\right)$

Os valores de a e b podem agora ser determinados impondo-se a condição de que a curva passe pelos pontos extremos conhecidos $Y_{(x_1)}$ e $Y_{(x_2)}$ inicialmente especificados no problema.

Ver também

• Catenária
• Princípio de d'Alembert
• Hamiltoniano
• Mecânica de Lagrange
• Bolha de sabão
• Superfície Costa

Ligações externas

• Geometria das Superfícies Mínimas em R³ e Superfícies Máximas tipo Espaço em L³