Crescimento demográfico (equação diferencial)

A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade ( $n$ ) e migração ( $g$ ), menos a taxa de mortalidade ( $m$ )

$a = n + g - m$

O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante $t$ for representada pela função $P (t)$ , o aumento da população será também igual à derivada de $P$ ^[1]

$\frac{d P}{d t} = a P$

Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de $a$ com o tempo. Veremos dois casos simples

Modelo de Malthus

Se a taxa de aumento da população ( $a$ ) for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis

$\begin{matrix} \int \frac{d P}{P} = \int a d t + C \\ P = P_{0} e^{a t} \end{matrix}$

Onde $P_{0}$ é a população em $t = 0$ . Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.

Modelo logístico

Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim

$b - k P$

com $b$ e $k$ constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli

$\frac{d P}{d t} = b P - k P^{2}$

Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que $P$ aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento $P$ permanece constante. Por meio da substituição $u = 1 / P$ obtém-se uma equação linear

$\frac{d u}{d t} = - b u + k$

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante $\exp (b t)$

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} (u e^{b t}) & = & k \int e^{b t} d t + C \\ \frac{1}{P} & = & \frac{k}{b} + C e^{- b t} \end{matrix}$