Densidade (topologia)

Predefinição:Sem-notas Em topologia um subconjunto de um espaço topológico é dito denso se para cada ponto $x$ desse espaço for possível encontrar um ponto $d$ do subconjunto denso tão próximo quanto se queira de $x$.

Definicão e equivalências

Seja $X$ um espaço topológico; dizemos que $D\subseteq X$ é denso no espaço $X$ se para cada aberto $V\subseteq X$ a intersecção $V\cap D$ for não-vazia. Verifica-se, facilmente, que as seguintes afirmações são equivalentes

1. $D$ é denso;
2. $\bar{D}=X$;
3. Para cada elemento $U$ de uma base $ℬ$ de $X$, se verifica $U\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$;
4. Para cada $x\in X$, cada base local $ℬ(x)$ e cada $U\in ℬ(x)$, se verifica $U\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$.

A cada espaço topológico $X$ pode ser associado um cardinal $\mathrm{d}(X)$, chamado de densidade do espaço $X$ dado por

$\mathrm{d}(X)=\min \{|D|:D\text{ é denso em }X\}$.

Dizemos que um espaço $X$ é separável se possuir um denso enumerável, i.e. $\mathrm{d}(X)\le \omega$.

O leitor é convidado a verificar que $\mathrm{d}(X)\le \mathrm{w}(X)$, onde $\mathrm{w}(X)$ é o peso do espaço $X$ (i.e. a menor cardinalidade que uma base do espaço $X$ pode admitir).

Propriedades básicas

• Sejam $X,Y$ espaços topológicos, sendo $Y$ Hausdorff. Quaisquer funções contínuas $f,g:X\to Y$ que coincidem em um denso de $X$ são iguais;

• Imagens de denso por sobrejeções contínuas são conjuntos densos;

Exemplos

• O conjunto dos racionais $\mathbb{Q}$ é denso em $ℝ$ com a topologia usual; mais ainda, $\mathbb{Q}$ é denso na reta de Sorgenfray. Isso faz com que ambos espaços sejam separáveis. É notável observar que, embora separável, a reta de Sorgenfray não é segundo-contável, testemunhando, portanto, que a desigualdade $\mathrm{d}(X)\le \mathrm{w}(X)$ não pode ser reposta por uma igualdade.
• O espaço produto ${ℝ}^{ℝ}$ é separável.
• Para cada espaço de medida $⟨X,ℳ,\mu ⟩$ e para cada $p\in \omega$, $p\ge 1$ o espaço $L^p(X,ℳ,\mu )$ é separável. Em particular, os espaços $l^p=L^p(\omega ,\mathrm{\wp }(\omega ),|\cdot |)$ é separável. Mas $L^{\mathrm{\infty }}(X,ℳ,\mu )$ não é separável.
• O espaço de Banach das funções de variação limitada não é separável.
• Separabilidade não é uma propriedade hereditária, i.e. subspaços de espaços separáveis em geral não são separáveis. De fato, topologizando $ℝ$ através do sistema de vizinhanças $⟨{𝒱}_x{⟩}_{x\in ℝ}$, tal que ${𝒱}_x=\{A\subseteq ℝ:\mathrm{\exists }\epsilon >0(]x-\epsilon ,x+\epsilon [\cap \mathbb{Q}\subseteq A)\}$, se $x\in \mathbb{Q}$ e ${𝒱}_x=\{A\subseteq ℝ:\mathrm{\exists }\epsilon >0((]x-\epsilon ,x+\epsilon [\cap \mathbb{Q})\cup \{x\}\subseteq A)\}$, se $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$. Nesta topologia, $\mathbb{Q}$ é denso em $ℝ$, mas o conjunto dos irracionais não admite subconjunto denso enumerável.

Teorema de Hewitt-Marczeewski-Pondiczery

Sejam $⟨X_s{⟩}_{s\in S}$ uma família de espaços topológicos e $\kappa \ge \omega$ um cardinal tal que $|S|\le 2^{\kappa }$. Se, para cada $s\in S$, $\mathrm{d}(X)\le \kappa$ então $\mathrm{d}\left(\prod _{s\in S}{X}_s\right)\le \kappa$.

Em particular, o teorema acima afirma que o produto de $𝔠$ espaços separáveis é um espaço separável. Predefinição:Referências

Bibliografia

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.