Método da direção implícita alternada

Em análise numérica, o Método da Direção implícita alternada (DIA) é um Método de diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas. É mais notavelmente usado para resolver o problema da condução de calor ou para resolver a equação de difusão em duas ou mais dimensões.

O método tradicional para resolver a equação do calor numericamente é o Método de Crank–Nicolson. Esse método resulta em um conjunto de equações muito complicadas em múltiplas dimensões, difíceis de resolver. A vantagem do método DIA é que as equações que devem ser resolvidas em cada passo tem uma estrutura mais simples e podem ser resolvidas eficientemente com um algoritmo de matriz tridiagonal.

O método

Considere a equação da difusão linear em duas dimensões,

$\frac{\partial u}{\partial t}=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})=(u_{xx}+u_{yy})=\mathrm{\Delta }u$

O método de Crank-Nicolson implícito produz a seguinte equação de diferenças finitas:

$\frac{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}({\delta }_x^2+{\delta }_y^2)(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n)$

onde ${\delta }_p$ é o operador de diferenças central para a coordenada p. Depois de realizada uma análise de estabilidade, pode ser mostrado que esse método será estável para qualquer $\mathrm{\Delta }t$.

Uma desvantagem do método de Crank-Nicolson é que a matriz na equação acima é uma matriz de banda com uma largura que é geralmente bem grande. Isso torna a solução direta do sistema de equações lineares bastante trabalhosa (embora soluções aproximadas eficientes existam).

A ideia do método ADI é dividir a equação de diferenças finitas em duas, uma com a derivada parcial em 'x' e a outra com a derivada parcial em y, ambas tomada implicitamente.

$\frac{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n}{\mathrm{\Delta }t/2}=({\delta }_x^2{u}_{ij}^{n+1/2}+{\delta }_y^2{u}_{ij}^n)$

$\frac{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}}{\mathrm{\Delta }t/2}=({\delta }_x^2{u}_{ij}^{n+1/2}+{\delta }_y^2{u}_{ij}^{n+1}).$

O sistema de equações envolvido é simétrico e tridiagonal e é tipicamente resolvido usando um algoritmo de matriz tridiagonal.

Pode ser mostrado que esse método é incondicionalmente estável e de segunda ordem no tempo e espaço. Existem métodos ADI mais refinados assim como o método de Douglas, ou o método do fator f o qual pode ser usado para três ou mais dimensões.