Regra dos trapézios (equações diferenciais)

Em análise numérica e computação científica, a regra dos trapézios é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária derivado da Regra dos trapézios para integrais computacionais. É um método implícito de segunda ordem como o Método de Runge-Kutta linear e iterativo.

Método

Supondo que se deseja resolver a seguinte equação diferencial

$y^{\prime }=f(t,y).$

A regra dos trapézios é dada pela fórmula

$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}h(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})),$

na qual $h=t_{n+1}-t_n$ é o tamanho do intervalo.

Este é um método implícito, onde o valor $y_{n+1}$ aparece nos dois lados da equação e para calculá-lo deve-se resolver a equação que geralmente é não-linear. Um possível método para resolver esta equação é o Método de Newton,podendo-se usar o Método de Euler para obter uma estimativa bastante boa para a solução e que poderá ser usada como chute inicial no método de Newton.

Motivação

Integrando a equação diferencial entre $t_n$ e $t_{n+1}$, encontra-se

$y(t_{n+1})-y(t_n)=\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}f(t,y(t))\mathrm{d}t.$

A regra dos trapézios para integração diz que a integral do lado direito da equação pode ser aproximada por

$\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}f(t,y(t))\mathrm{d}t\approx \frac{1}{2}h(f(t_n,y(t_n))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))).$

Combinando as duas fórmulas e definindo $y_n\approx y(t_n)$ e $y_{n+1}\approx y(t_{n+1})$, obtém-se a regra dos trapézios para equações diferenciais ordinárias.

Análise de erro

Tem-se, da análise de erro da regra dos trapézios para quadratura, que o Erro de truncamento local ${\tau }_n$ da regra dos trapézios para equações diferenciais pode ser delimitado por

$|{\tau }_n|\le \frac{1}{12}{h}^3\underset{t}{\max }|y^{″}(t)|.$

Assim, a regra dos trapézios é um método de segunda-ordem. Isto pode ser usado para provar que o erro global é $O(h^2)$ assim que o espaço entre pontos adjacentes $h$ tende a zero (veja seu significado em Grande-O)

Estabilidade

A região de estabilidade absoluta para este método é

$\{z\in ℂ\mid \mathrm{Re}(z)<0\}.$

Isto inclui a metade esquerda do plano, então ele é A-estável. Que mostra que a solução numérica tende zero se e somente se a solução exata o fizer.

Bibliografia

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