Lei da probabilidade total

Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

Expressão Formal

A lei da probabilidade total é a proposição de que se $\left\{B_n:n=1,2,3,\dots \right\}$ é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:

$\mathrm{Pr}(A)=\sum _n\mathrm{Pr}(A\cap B_n)$

ou, alternativamente,

$\mathrm{Pr}(A)=\sum _n\mathrm{Pr}(A\mid B_n)\mathrm{Pr}(B_n),$

onde, para qualquer $n$ para que $\mathrm{Pr}(B_n)=0$ estes termos são omitidos na soma, pois $\mathrm{Pr}(A\mid B_n)$ é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal $\mathrm{Pr}(A)$ pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).

A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo $B_n$ acima, e assumindo que $C$ é um evento independente com qualquer dos eventos de $B_n$:

$\mathrm{Pr}(A\mid C)=\sum _n\mathrm{Pr}(A\mid C\cap B_n)\mathrm{Pr}(B_n\mid C)=\sum _n\mathrm{Pr}(A\mid C\cap B_n)\mathrm{Pr}(B_n)$

Expressão Informal

A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado $A$, com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de $B_n$, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que $A$ vai acontecer?". A resposta para esta questão é $\mathrm{Pr}(A)$.

Exemplo

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de Predefinição:Fmtn horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:

$\mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(A|B_1)\cdot \mathrm{Pr}(B_1)+\mathrm{Pr}(A|B_2)\cdot \mathrm{Pr}(B_2)=\frac{99}{100}\cdot \frac{6}{10}+\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{10}=\frac{594+380}{1000}=\frac{974}{1000}$,

onde

• $\mathrm{Pr}(B_1)=\frac{6}{10}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
• $\mathrm{Pr}(B_2)=\frac{4}{10}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
• $\mathrm{Pr}(A|B_1)=\frac{99}{100}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h
• $\mathrm{Pr}(A|B_2)=\frac{95}{100}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h

Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.

Aplicações

Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, $B_n$ é o evento $X=x_n$. Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado $X=x_n$. Isto é,

$\mathrm{Pr}(A)=\sum _n\mathrm{Pr}(A\mid X=x_n)\mathrm{Pr}(X=x_n)=\mathrm{E}[\mathrm{Pr}(A\mid X)],$

em que $Pr(A|X)$ é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional $Pr(A|X=x)$ é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo $g(x)=Pr(A|X=x)$. Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis ​​aleatórias contínuas, e a expressão se torna

$\mathrm{Pr}(A)=\mathrm{E}[\mathrm{Pr}(A\mid {ℱ}_X)],$

onde ${ℱ}_X$ denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.

Outros Nomes

O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis ​​aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo. Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.

Ver também

• Lei da expectativa total (Law of total expectation)
• Lei da variância total (Law of total variance)
• Lei da acumulação total (Law of total cumulance)

Referências

• Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
• Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
• Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116.
• A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
• An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.