Número bicomplexo

Multiplicação tessarine

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	1	i
k	k	−j	i	−1

Na matemática, um tessarine é um número hipercomplexo da forma

$t=w+xi+yj+zk,w,x,y,z\in ℝ$

onde $ij=ji=k,i^2=-1,j^2=+1.$

Os tessarines são mais conhecidos por sua subálgebra de tessarines reais $t=w+yj,$ também chamados de números complexos hiperbólicos, que expressam a parametrização da hipérbole unitária.

James Cockle introduziu os tessarines em 1848 em uma série de artigos na Philosophical Magazine. Cockle usou os tessarines para isolar as séries de cossenos hiperbólicos e as séries de senos hiperbólicos nas séries exponenciais. Ele também mostrou como os divisores de zero surgem nos tessarines, inspirando ele a usar o termo "impossíveis."

Em 1892, Corrado Segre introduziu os números bicomplexos no Mathematische Annalen, que formam uma algebra equivalente aos tessarines (ver seção abaixo). Como números hipercomplexos comutativos, a álgebra tessarine é defendida por Clyde M. Davenport (1991, 2008) (mudou j e −k em sua tabela de multiplicação). Davenport notou o isomorfismo com a soma direta do plano de números complexos com si mesmo. Tessarines também foram aplicados no processamento de sinal digital (ver Pei (2004) e Alfsmann (2006,7). Em 2009, matemáticos provaram um teorema fundamental da álgebra tessarine: um polinômio de grau n com coeficientes tessarines tem n² raízes, contando multiplicidades.

Conjuntos de números

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$ $𝕀\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$

Representação linear

Para o tessarine $t=w+xi+yj+zk,$ note que $t=(w+xi)+(y+zi)j$ pois Predefinição:Nowrap. A aplicação

$t\mapsto \left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& p\end{array}\right),p=w+xi,q=y+zi$

é uma representação linear da álgebra dos tessarines como uma subálgebra de matrizes complexas Predefinição:Nowrap. Por exemplo, Predefinição:Nowrap na representação linear é

$\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right).$

Note que ao contrário de muitas álgebras matriciais, esta é uma álgebra comutativa.

Isomorfismos para outros sistemas numéricos

Em geral, os tessarines formam uma álgebra de dimensão dois sobre os números complexos com base Predefinição:Nowrap.