Constante de Mills

Na teoria dos números, a constante de Mills é definida como o menor real positivo A tal que a função piso da dupla exponencial: 

$\lfloor A^{3^n}\rfloor$

é um número primo para todos os inteiros positivos n. A constante possui este nome em homenagem a William H. Mills, que provou em 1947 a existência de A, baseado em resultados de Guido Hoheisel e Albert Ingham sobre intervalos entre primos consecutivos. Seu valor é desconhecido, mas se a hipótese de Riemann for verdadeira, seu valor é de aproximadamente 1.3063778838630806904686144926... (sequência A051021 na OEIS).

Primos de Mills

Os primos gerados pela constante de Mills são conhecidos como Primos de Mills. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, seus primeiros termos são:

2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, ... (sequencia A051254 na OEIS).

Atualmente, o maior primo de Mills conhecido (sob a hipótese de Riemann) é:

$(((((((((2^3+3{)}^3+30{)}^3+6{)}^3+80{)}^3+12{)}^3+450{)}^3+894{)}^3+3636{)}^3+70756{)}^3+97220,$

com um comprimento de 20562 dígitos.

Sketch da Prova

Dada uma sequência $a_1,a_2,...$ de inteiros positivos, provaremos que basta que $a_n^3<a_{n+1}<(a_n+1{)}^3$ para que exista A tal que $\lfloor A^{3^n}\rfloor =a_n$ para todo n.

Para isso, considere a sequência de intervalos $I_1,I_2,...$ onde $I_n=[a_n^{1/3^n},(a_n+1{)}^{1/3^n}]$. A condição $a_n^3<a_{n+1}<(a_n+1{)}^3$ implica que $I_1\supset I_2\supset ...$. Segue, portanto, do teorema dos intervalos encaixantes, que existe um número real A que está em todos estes intervalos. Esse número satisfaz o desejado, pois $A\in I_n\Rightarrow a_n<A^{3^n}<a_n+1\Rightarrow \lfloor A^{3^n}\rfloor =a_n$.

Portanto para provar a existência da constante de Mills, basta provar que existe uma sequência de primos $a_1,a_2,...$ tais que $a_n^3<a_{n+1}<(a_n+1{)}^3$ para todo n. A existência desta sequência segue, por exemplo, de um resultado de Cheng, que implica que há ao menos um primo entre n^3 e (n+1)^3 para todo n suficientemente grande. Se assumirmos a hipótese de Riemann, temos ainda que existe tal sequência de primos com $a_1=2$, e que que gera o real A minimal pode ser obtida recursivamente, tomando-se $a_{n+1}$ como o menor primo maior que $a_n^3$.

Cálculo Numérico

Calculando-se a sequência dos primos de Mills, pode-se aproximar a constante de Mills como:

$A\approx a_n^{1/3^n}.$

Caldwell e Cheng (2005) usaram este método para calcular quase 7 mil dígitos da constante na base 10, assumindo a hipótese de Riemann. Não se conhece uma fórmula fechada para esta constante, e nem se sabe se é um número racional.