Número piramidal quadrado

Representação de uma pirâmide quadrangular formada por esferas.

Um número piramidal quadrado corresponde ao número de esferas que podem ser alocadas se forem dispostas de forma a formar uma pirâmide quadrangular. Se $n$ é o número de esferas que formam o lado da base da pirâmide, então o número piramidal associado é dado por:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{(2n+1)n(n+1)}{6}$

Por exemplo, se uma pirâmide quadrangular for formada por $4\times 4=16$ esferas na base, então ela terá um total de 30 esferas, o que corresponde a:

$\sum _{k=1}^4{k}^2=1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{(2\cdot 4+1)\cdot 4\cdot (4+1)}{6}=30$.

Demostração

Mostraremos que:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{(2n+1)n(n+1)}{6}$.

Primeiramente, observamos que a diferença entre dois termos consecutivos deste somatório fornece:

$k^2-(k-1{)}^2=2k-1$

O que mostra que a diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos é um número ímpar. Além disso, por indução na equação anterior, vemos que o quadrado de um número natural pode ser escrito como a soma de números ímpares, mais precisamente:

$k^2=\sum _{i=1}^k(2i-1)$.

Consideremos, então, a seguinte tabela representativa:

$\begin{array}{cccccccccccccccc}{1}^2& =& 1& & & & & & & & & & & & & \\ 2^2& =& 1& +& 3& & & & & & & & & & & \\ 3^2& =& 1& +& 3& +& 5& & & & & & & & & \\ 4^2& =& 1& +& 3& +& 5& +& 7& & & & & & & \\ 5^2& =& 1& +& 3& +& 5& +& 7& +& 9& & & & & \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & & & \\ n^2& =& 1& +& 3& +& 5& +& 7& +& 9& +& \cdots & +& 2n-1& \end{array}$

Notemos que a primeira coluna após o símbolo de igualdade soma $n$, a segunda coluna soma $3(n-1)$, a terceira soma $5(n-2)$ e assim, sucessivamente, até a última coluna que soma $(2n-1)\cdot 1$. Logo, vemos que:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\sum _{k=1}^n(2k-1)(n-(k-1))=\sum _{k=1}^{n}2k(n+\frac{3}{2})-2k^2-(n+1)$.

Agora, pelas propriedades do somatório, temos:

$3\sum _{k=1}^n{k}^2=2(n+\frac{3}{2})\sum _{k=1}^{n}k-(n+1)\sum _{k=1}^{n}1$

Ora, o somatório de $\sum _{k=1}^{n}k$ é uma progressão aritmética de razão 1, i.e. $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. Logo:

$3\sum _{k=1}^n{k}^2=(n+\frac{3}{2})n(n+1)-n(n+1)\Rightarrow \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{(2n+1)n(n+1)}{6}$.

Predefinição:Classes de números naturais Predefinição:Portal3