Sequência dupla

Seja uma função $f:{\mathbb{N}}^2=\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to ℝ$, ou seja, uma função cujo domínio são os pares $(m,n)$, com $m,n\in \mathbb{N}$. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos $a_{m,n}$, conforme ilustrado abaixo

$a_{1,1}$	$a_{1,2}$	$a_{1,3}$	$a_{1,4}$	$\cdots$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$	$a_{2,3}$	$a_{2,4}$	$\cdots$
$a_{3,1}$	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$	$a_{3,4}$	$\cdots$
$a_{4,1}$	$a_{4,2}$	$a_{4,3}$	$a_{4,4}$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Denotamos por $\{a_{m,n}\}$ a sequência dupla dessa função.

O valor do termo $a_{m,n}$ dessa sequência, correspondente à posição $(m,n)$, é chamado de $(m,n)-\acute{e}simo$ termo da sequência dupla. É fácil notar que, como a sequência é definida em ${\mathbb{N}}^2$, $(m_1,n_1)\le (m_2,n_2)\iff m_1\le m_2$ e $n_1\le n_2$.

Convergência

Dizemos que uma sequência dupla é convergente se $\mathrm{\exists }a\in ℝ,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }(m_0,n_0)\in {\mathbb{N}}^2:|a_{m,n}-a|<\epsilon ,\mathrm{\forall }(m,n)\ge (m_0,n_0)$.

Assim, $\{a_{m,n}\}$ é convergente se $a_{m,n}\to a$. Como $a$ é único, ele é chamado de limite duplo de $\{a_{m,n}\}$ e é denotado por $\underset{(m,n)\to (\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}{\lim }{a}_{m,n}$.

Teorema do limite em sequências duplas

Tome $a_{m,n}\to a,b_{m,n}\to b$, isso implica

(1) $a_{m,n}+b_{m,n}\to a+b$

(2) $r{a}_{m,n}\to ra,\mathrm{\forall }r\in ℝ$

(3) $a_{m,n}{b}_{m,n}\to ab$

(4) seja $a\ne 0$, $\mathrm{\exists }(m_0,n_0)\in {\mathbb{N}}^2:a_{m,n}\ne 0,\mathrm{\forall }(m,n)\ge (m_0,n_0)$ e $\frac{1}{a_{m,n}}\to \frac{1}{a}$

Critério de Cauchy para convergência

Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.

Predefinição:Collapse top $(\Rightarrow )$ Imediato. $(\Leftarrow )$ Seja $\{a_{m,n}\}$ uma sequência dupla de Cauchy, tome as sequências diagonais $b_n:a_{n,n}$, para $n\in \mathbb{N}$.

Oras, $b_n$ é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então, do Critério de Cauchy de uma variável.

Seja $b_n\to b$ e $\epsilon >0$ dado,$\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}:|b_n-b|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\ge n_0.$

Como $\{a_{m,n}\}$ é Cauchy, $\mathrm{\exists }{n}_1\in \mathbb{N}:n_1\ge n_0$ e $|a_{m,n}-a_{p,q}|<\epsilon ,\mathrm{\forall }(m,n),(p,q)\ge (n_1,n_1).$

Pela desigualdade triangular

$|a_{m,n}-b|\le |a_{m,n}-a_{n_1,n_1}|+|b_{n_1}-b|<2\epsilon$. Logo, $a_{m,n}$ converge para $b$. Predefinição:Collapse bottom

Teorema da troca de limites

Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites iterados, então esses limites têm que ser iguais.

Predefinição:Collapse top Como o limite duplo existe, dado $\epsilon >0$,$\mathrm{\exists }{n}_0:m,n\ge n_0\Rightarrow |a_{m,n}-a|<\epsilon$.

Segue que, se $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}$ existe e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}=b_m$, podemos levar $n\to \mathrm{\infty }$ em $|a_{m,n}-a|<\epsilon$ para obter $|b_m-a|<\epsilon$, se $n\ge n_0$, de modo que $b_m\to a$, cqd. Predefinição:Collapse bottom