Limites iterados

Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo $\underset{x\to a}{\lim }(\underset{y\to b}{\lim }f(x,y)).$

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando $g(x):=\underset{y\to b}{\lim }f(x,y)$, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, $\underset{x\to a}{\lim }g(x)$, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por $\underset{y\to b}{\lim }(\underset{x\to a}{\lim }f(x,y))$.

Essa definição difere da expressão $\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)$, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável $f(x,y)$ se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos $(x,y)$ do ponto $(a,b)$. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.

Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral

$\underset{x\to a}{\lim }(\underset{y\to b}{\lim }f(x,y))\ne \underset{y\to b}{\lim }(\underset{x\to a}{\lim }f(x,y))\ne \underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)$.

Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. Sejam, então, $g(x):=\underset{y\to b}{\lim }f(x,y)$ e $h(y):=\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }(\underset{y\to b}{\lim }f(x,y))$ e $\underset{y\to b}{\lim }h(y)=\underset{y\to b}{\lim }(\underset{x\to a}{\lim }f(x,y))$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão $\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y).$

Exemplos

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.

Sejam as funções abaixo definidas de forma que, $f,g,h:A\times B=(0,+\mathrm{\infty })\times (0,+\mathrm{\infty })\to \mathrm{\Re }$,

(1) $f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}$

Temos $\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=y-1$ e $\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=x+1$, de onde segue

$\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y))=-1$ e $\underset{x\to 0}{\lim }(\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y))=1$, ou seja

$\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y))\ne \underset{x\to 0}{\lim }(\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y))$.

.

(2) $g(x,y)=\frac{x\sin \frac{1}{x}+y}{x+y}$

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=1$, de onde $\underset{y\to 0\mathrm{\%}}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }g(x,y))=1$.

Mas, $\underset{y\to 0}{\lim }g(x,y)=\sin \frac{1}{x}$ e, portanto, $\nexists \underset{x\to 0}{\lim }(\underset{y\to 0}{\lim }g(x,y))$.

.

(3) $h(x,y)=x\sin \frac{1}{y}$, $0\le |x\sin \frac{1}{y}|\le \left|x\right|$

Temos $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }h(x,y)=\underset{y\to 0}{\lim }(\underset{x\to 0}{\lim }h(x,y))=0$, mas $\nexists \underset{x\to 0}{\lim }(\underset{y\to 0}{\lim }y(x,y))$.

Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,

(4) $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2},$

Oras, $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=0$, logo $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\underset{y\to 0}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}\right)=\underset{y\to 0}{\lim }\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}\right)=0$

Mas o limite duplo em torno do caminho $y=x$ é dado por,

$\underset{((x,y)\to (0,0):y=x)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}.$

Troca da ordem dos operadores de limite

Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.

Proposição

Seja $f:A\times B\to M$ uma função de um subconjunto $A\times B\subset M_1\times M_2$ em $M$ e $(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$, onde $M_1,M_2,M$ são espaços métricos. Se

(i) $\mathrm{\exists }\underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)=\alpha$

(ii) para cada $y\in B,\mathrm{\exists }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=g(y)$

então $\mathrm{\exists }\underset{y\to b}{\lim }g(y)=\alpha$.

Predefinição:Collapse top Como $\mathrm{\exists }\underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)=\alpha$, então, da definição,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }(x,y)\in A\times B$, $(x,y)\in B_{\delta }(a)\times B_{\delta }(b)\mathrm{\setminus }\{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x,y),\alpha )=|f(x,y)-\alpha |<\frac{\epsilon }{2}$.

Usando o fato de que $\mathrm{\exists }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=g(y)$ e a continuidade da função norma, então $\mathrm{\exists }\underset{x\to a}{\lim }d(f(x,y),\alpha )=d(g(y),\alpha )\le \frac{\epsilon }{2}$.

Segue que $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }y\in B,y\in B_{\delta }(b)\mathrm{\setminus }\{b\}\Rightarrow d(g(y),\alpha )<\epsilon$, de modo que $\underset{y\to b}{\lim }g(y)=\alpha$. Predefinição:Collapse bottom

Teorema do intercâmbio de limites

Seja $f:A\times B\to M$ uma função em um espaço métrico completo, onde $A$ e $B$ são subconjuntos dos espaços métricos $M_1$ e $M_2$, respectivamente, e seja $a\in A^{\prime }\mathrm{\setminus }A,b\in B^{\prime }\mathrm{\setminus }B$. Se

(i) $\mathrm{\exists }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=g(y)$,$\mathrm{\forall }y\in B$

(ii) $\underset{y\to b}{\lim }f(x,y)=h(x)$ existe uniformemente em $x\in A$

então os três limites $\underset{x\to a}{\lim }\underset{y\to b}{\lim }f(x,y),$ $\underset{y\to b}{\lim }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y),\underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)$ existem e são iguais. Predefinição:Collapse top Seja $\epsilon >0$ arbitrário.

De (ii) temos, pela definição

(1) $\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }y\in B:0<d_2(y,b)<\delta \Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A:d(f(x,y),h(x))<\frac{\epsilon }{6}.$

Seja $y^{\ast }\in B_{\delta }(b)\mathrm{\setminus }\{b\}$, usando (i), segue

(2) $\mathrm{\exists }{\delta }^{\ast }>0,\mathrm{\forall }x\in A:0<d_1(x,a)<{\delta }^{\ast }\Rightarrow d(f(x,y^{\ast }),g(y^{\ast }))<\frac{\epsilon }{6}.$

Seja a vizinhança do ponto $(a,b)$ dada na forma

$V=B_{{\delta }^{\ast }}(a)\times B_{\delta }(b)$ e sejam os pontos $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V\mathrm{\setminus }\{(a,b)\}.$

Da desigualdade triangular segue

$d(f(x_1,y_1),f(x_2,y_2))\le d(f(x_1,y_1),h(x_1))+d(h(x_1),f(x_1,y^{\ast }))+$$d(f(x_1,y^{\ast }),g(y^{\ast }))+d(g(y^{\ast }),f(x_2,y^{\ast }))+d(f(x_2,y^{\ast }),h(x_2))+d(h(x_2),f(x_2,y_2))$

Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que $\frac{\epsilon }{6}.$

Decorre disso que

$\mathrm{\forall }(x_1,y_1)\in A\times B,\mathrm{\forall }(x_2,y_2)\in A\times B:$ $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V\mathrm{\setminus }\{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x_1,y_1),f(x_2,y_2))<\epsilon .$ Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto $(a,b)$ e, como $M$ é um espaço métrico completo, existe $\underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)=\alpha$.

Da proposição anterior, junto com (i), segue $\underset{y\to b}{\lim }g(y)=\alpha =\underset{y\to b}{\lim }(\underset{x\to a}{\lim }f(x,y))$ e, com (ii) que $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=\alpha =\underset{x\to a}{\lim }(\underset{y\to b}{\lim }f(x,y))$ . O que conclui a demonstração. Predefinição:Collapse bottom