Rotação de Givens

Predefinição:Sem notas Em álgebra linear numérica, uma rotação de Givens é uma rotação no plano gerado por dois eixos de coordenadas. As rotações de Givens foram nomeadas em homenagem à Wallace Givens, que apresentou a técnica aos analistas numéricos na década de 1950, enquanto trabalhava no Argonne National Laboratory.

Representação matricial

Uma rotação de Givens é representada por uma matriz da forma

$$G(i,j,\theta )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & c& \cdots & -s& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & s& \cdots & c& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

onde Predefinição:Math e Predefinição:Math aparecem nas interseções das Predefinição:Mvar-ésima e Predefinição:Mvar-ésima linhas e colunas. Isto é, os elementos não-nulos da matriz de Givens são dados por: $$\begin{array}{cc}{g}_{kk}& =1\text{para}k\ne i,j\\ g_{ii}& =c\\ g_{jj}& =c\\ g_{ji}& =-s\\ g_{ij}& =s\text{para}i>j\end{array}$$ Note que o sinal dos senos muda quando Predefinição:Math.

O produto Predefinição:Math representa a rotação no sentido anti-horário do vector Predefinição:Math no plano Predefinição:Math de Predefinição:Mvar radianos, por isso o nome de rotação de Givens.

O principal uso das rotações de Givens na álgebra linear numérica é para introduzir zeros em vetores e matrizes. Esse efeito pode, por exemplo, ser usado no cálculo da decomposição QR de uma matriz. Uma vantagem sobre as transformações de Householder é que elas podem ser paralelizadas facilmente, e outra é que frequentemente, para matrizes bastante esparsas elas exigem uma quantidade pequena de operações.

• Predefinição:Citation. LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
• D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.
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